Đường tròn (O;R1) và (O';R2) tiếp xúc nhau tại P. Một cát tuyến qua P cắt (O;R1) tại A và (O';R2) tại B. Một cát tuyến khác cũng qua P cắt (O;R1) tại C và (O';R2) tại D. Chứng minh các tam giác PAC và...

Cách giải 1: (Hình 1) Ta có các tam giác OAP và tam giác O'BP là các tam giác cân tại O và O' Suy ra: OAP^=OPA^ và O'PB^=O'BP^ mà OPA^=O'PB^ (Hai góc đối đỉnh)⇒OAP^=PBO'^⇒△OAP ~△O'BP PAPB=POPO'=R1R2 (1)Tương tự ta cũng có:OCP^=OPC^ và O'PD^=O'DP^ mà OPC^=O'PD^ ( Hai góc đối đỉnh)⇒OCP^=PDO'^⇒△OCP ~ △O'DP ⇒PCPD=POPO'=R1R2 (2) Từ (1) và (2) ta có: PAPB=PCPD=R1R2Lại có CPA^=BPD^ Suy ra: Cách giải 2: (Hình 2) Kẻ tiếp tuyến chung xPy của hai đường tròn.Ta có. CAP^=CAy^=xPD^=PBD^(Áp dụng tính chất về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau)Mặt khác APC^=BPD^ (hai góc đối đỉnh)Suy ra : △PA1B1~△PA2B2

Câu hỏi:

11/07/2024 215

Đường tròn (O;R₁) và (O';R₂) tiếp xúc nhau tại P. Một cát tuyến qua P cắt (O;R₁) tại A và (O';R₂) tại B. Một cát tuyến khác cũng qua P cắt (O;R₁) tại C và (O';R₂) tại D. Chứng minh các tam giác PAC và PBD đồng dạng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 10: Rèn luyện kĩ năng tìm lời giải bài toán hình học có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách giải 1: (Hình 1)

Đường tròn (O;R1) và (O';R2) tiếp xúc nhau tại P. Một cát tuyến qua P cắt (O;R1) tại A và (O';R2) tại B (ảnh 1)

Ta có các tam giác OAP và tam giác O'BP là các tam giác cân tại O và O' Suy ra: $\hat{O A P} = \hat{O P A}$ và $\hat{O' P B} = \hat{O' B P}$ mà $\hat{O P A} = \hat{O' P B}$ (Hai góc đối đỉnh)
$\Rightarrow \hat{O A P} = \hat{P B O'} \Rightarrow$ $△$ OAP $~$ $△$ O'BP $\frac{P A}{P B} = \frac{P O}{P O'} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$ (1)
Tương tự ta cũng có:
$\hat{O C P} = \hat{O P C}$ và $\hat{O' P D} = \hat{O' D P}$ mà $\hat{O P C} = \hat{O' P D}$ ( Hai góc đối đỉnh)
$\Rightarrow \hat{O C P} = \hat{P D O'} \Rightarrow$ $△$ OCP $~$ $△$ O'DP $\Rightarrow \frac{P C}{P D} = \frac{P O}{P O'} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có: $\frac{P A}{P B} = \frac{P C}{P D} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$
Lại có $\hat{C P A} = \hat{B P D}$ Suy ra:

Cách giải 2: (Hình 2)

Đường tròn (O;R1) và (O';R2) tiếp xúc nhau tại P. Một cát tuyến qua P cắt (O;R1) tại A và (O';R2) tại B (ảnh 2)

Kẻ tiếp tuyến chung xPy của hai đường tròn.
Ta có. $\hat{C A P} = \hat{C A y} = \hat{x P D} = \hat{P B D}$ (Áp dụng tính chất về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau)
Mặt khác $\hat{A P C} = \hat{B P D}$ (hai góc đối đỉnh)
Suy ra : $△ {PA}_{1} B_{1} ~ △ {PA}_{2} B_{2}$