Đường tròn (O;R1) và (O';R2) tiếp xúc nhau tại P. Một cát tuyến qua P cắt (O;R1) tại A và (O';R2) tại B. Một cát tuyến khác cũng qua P cắt (O;R1) tại C và (O';R2) tại D. Chứng minh các tam giác PAC và...

Cách giải 1: (Hình 1) Ta có các tam giác OAP và tam giác O'BP là các tam giác cân tại O và O' Suy ra: OAP^=OPA^ và O'PB^=O'BP^ mà OPA^=O'PB^ (Hai góc đối đỉnh)⇒OAP^=PBO'^⇒△OAP ~△O'BP PAPB=POPO'=R1R2 (1)Tương tự ta cũng có:OCP^=OPC^ và O'PD^=O'DP^ mà OPC^=O'PD^ ( Hai góc đối đỉnh)⇒OCP^=PDO'^⇒△OCP ~ △O'DP ⇒PCPD=POPO'=R1R2 (2) Từ (1) và (2) ta có: PAPB=PCPD=R1R2Lại có CPA^=BPD^ Suy ra: Cách giải 2: (Hình 2) Kẻ tiếp tuyến chung xPy của hai đường tròn.Ta có. CAP^=CAy^=xPD^=PBD^(Áp dụng tính chất về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau)Mặt khác APC^=BPD^ (hai góc đối đỉnh)Suy ra : △PA1B1~△PA2B2

Câu hỏi:

11/07/2024 243

Đường tròn (O;R₁) và (O';R₂) tiếp xúc nhau tại P. Một cát tuyến qua P cắt (O;R₁) tại A và (O';R₂) tại B. Một cát tuyến khác cũng qua P cắt (O;R₁) tại C và (O';R₂) tại D. Chứng minh các tam giác PAC và PBD đồng dạng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 10: Rèn luyện kĩ năng tìm lời giải bài toán hình học có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách giải 1: (Hình 1)

Đường tròn (O;R1) và (O';R2) tiếp xúc nhau tại P. Một cát tuyến qua P cắt (O;R1) tại A và (O';R2) tại B (ảnh 1)

Ta có các tam giác OAP và tam giác O'BP là các tam giác cân tại O và O' Suy ra: $\hat{O A P} = \hat{O P A}$ và $\hat{O' P B} = \hat{O' B P}$ mà $\hat{O P A} = \hat{O' P B}$ (Hai góc đối đỉnh)
$\Rightarrow \hat{O A P} = \hat{P B O'} \Rightarrow$ $△$ OAP $~$ $△$ O'BP $\frac{P A}{P B} = \frac{P O}{P O'} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$ (1)
Tương tự ta cũng có:
$\hat{O C P} = \hat{O P C}$ và $\hat{O' P D} = \hat{O' D P}$ mà $\hat{O P C} = \hat{O' P D}$ ( Hai góc đối đỉnh)
$\Rightarrow \hat{O C P} = \hat{P D O'} \Rightarrow$ $△$ OCP $~$ $△$ O'DP $\Rightarrow \frac{P C}{P D} = \frac{P O}{P O'} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có: $\frac{P A}{P B} = \frac{P C}{P D} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$
Lại có $\hat{C P A} = \hat{B P D}$ Suy ra:

Cách giải 2: (Hình 2)

Đường tròn (O;R1) và (O';R2) tiếp xúc nhau tại P. Một cát tuyến qua P cắt (O;R1) tại A và (O';R2) tại B (ảnh 2)

Kẻ tiếp tuyến chung xPy của hai đường tròn.
Ta có. $\hat{C A P} = \hat{C A y} = \hat{x P D} = \hat{P B D}$ (Áp dụng tính chất về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau)
Mặt khác $\hat{A P C} = \hat{B P D}$ (hai góc đối đỉnh)
Suy ra : $△ {PA}_{1} B_{1} ~ △ {PA}_{2} B_{2}$