b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+y=3\\ x-2y=4\end{array}\right.$

c) Gọi vận tốc lúc đi của xe máy là $x\left(km/h\right)\left(x>0\right)$

Lúc đi, xe máy đi hết $\frac{100}{x}$(giờ)

Vận tốc lúc về của xe máy : $x+10\left(km/h\right)$

Lúc về, xe máy đi hết $\frac{100}{x+10}$ (giờ)

Do lúc về xe máy tăng tốc nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút $=\frac{1}{2}h$nên ta có phương trình :

$\begin{array}{l}\frac{100}{x}-\frac{100}{x+10}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2\left(100x+1000-100x\right)=x\left(x+10\right)\\ \iff x^2+10x-2000=0\\ \Delta ={10}^2+4.2000=8100>0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=90\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_1=\frac{-10+90}{2}=40\left(tm\right)\\ x_2=\frac{-10-90}{2}=-50\left(ktm\right)\end{array}\right.\end{array}$

Vậy vận tốc của xe máy là $40km/h$

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l}\Delta \text{'}>0\iff {\left(m+1\right)}^2-m^2-4>0\\ \iff m^2+2m+1-m^2-4\iff 2m>3\iff m>\frac{3}{2}\left(*\right)\end{array}$

Khi đó, áp dụng định lý Vi-et ta có : $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m+2\\ x_1{x}_2=m^2+4\end{array}\right.$

Vì $x_2$ là nghiệm của phương trình (1) nên ta có :

$x_2^2-2\left(m+1\right)x+m^2+4=0\iff 2\left(m+1\right)x=x_2^2+m^2+4$

Khi đó ta có :

$\begin{array}{l}{x}_1^2+2\left(m+1\right)x_2\le 2m^2+20\iff x_1^2+x_2^2+m^2+4\le 2m^2+20\\ \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\le m^2+16\\ \iff 4{\left(m+1\right)}^2-2\left(m^2+4\right)\le m^2+16\\ \iff 4m^2+8m+4-2m^2-8-m^2-16\le 0\\ \iff m^2+8m-20\le 0\iff -10\le m\le 2\end{array}$

Kết hợp với điều kiện (*)$\Rightarrow \frac{3}{2}<m\le 2$