Cho phương trình:$x^2+ax+b+2=0$(a,b  là tham số)

Tìm các giá trị của tham số a,b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$thỏa mãn điều kiện : $\left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=4\\ x_1^3-x_2^3=28\end{array}\right.$

      2, Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số (d) và (P)

$\frac{1}{2}{x}^2=x+m-1\iff x^2-2x-2m+2=0(*)$

Theo đề bài ta có: $\left(d\right)$cắt (P) tại hai điểm $A\left(x_A,y_A\right),B\left(x_B,y_B\right)$phân biệt

$\iff \left(*\right)$có hai nghiệm phân biệt $\iff \Delta \text{'}>0$

$\iff 1-\left(-2m+2\right)>0\iff 1+2m-2>0\iff m>\frac{1}{2}$

Vậy với $m>\frac{1}{2}$thì phương trình (*) có hai nghiệm $x_A,x_B$phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=2\\ x_A{x}_B=-2m+2\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_A>0\\ x_B>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B>0\\ x_A.x_B>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2>0\forall m\\ -2m+2>0\end{array}\right.\iff -2m>-2\iff m<1$

Kết hợp các điều kiện của m ta được: $\frac{1}{2}<m<1$

Vậy $\frac{1}{2}<m<1$thỏa mãn bài toán.

     Xét $\Delta OAM$và $\Delta OBM$ta có:

$OA=OB\left(=R\right);$OM chung; $MA=MB$(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \Delta OAM=\Delta OBM\left(c.c.c\right)\Rightarrow S_{OAM}=S_{OBM}\Rightarrow S_{MAOB}=S_{OAM}+S_{OBM}=2S_{OAM}$

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông OAM ta có:

$\begin{array}{l}A{M}^2=O{M}^2-O{A}^2={\left(2R\right)}^2-R^2=3R^2\Rightarrow AM=R\sqrt{3}\\ \Rightarrow S_{MAOB}=2S_{OAM}=2.\frac{1}{2}OA.AM=R.R\sqrt{3}=R^2\sqrt{3}\left(dvdt\right)\end{array}$