Cho đường tròn (O, R).Từ một điểm M ở ngoài đường tròn ( O,R) sao cho OM= 2R vẽ hai tiếp tuyến $MA,MB$với $\left(O\right)(A,B$là hai tiếp điểm). Lấy một điểm N tùy ý trên cung nhỏ AB Gọi I,H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên $AB,AM,BM.$

a, Tính diện tích tứ giác MAOB theo R

      2, Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số (d) và (P)

$\frac{1}{2}{x}^2=x+m-1\iff x^2-2x-2m+2=0(*)$

Theo đề bài ta có: $\left(d\right)$cắt (P) tại hai điểm $A\left(x_A,y_A\right),B\left(x_B,y_B\right)$phân biệt

$\iff \left(*\right)$có hai nghiệm phân biệt $\iff \Delta \text{'}>0$

$\iff 1-\left(-2m+2\right)>0\iff 1+2m-2>0\iff m>\frac{1}{2}$

Vậy với $m>\frac{1}{2}$thì phương trình (*) có hai nghiệm $x_A,x_B$phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=2\\ x_A{x}_B=-2m+2\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_A>0\\ x_B>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B>0\\ x_A.x_B>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2>0\forall m\\ -2m+2>0\end{array}\right.\iff -2m>-2\iff m<1$

Kết hợp các điều kiện của m ta được: $\frac{1}{2}<m<1$

Vậy $\frac{1}{2}<m<1$thỏa mãn bài toán.

$x^2+ax+b+2=0$  ta có: $\Delta =a^2-4\left(b+2\right)=a^2-4b-8$

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta >0\iff a^2-4b-8>0\left(*\right)$

Khi đó, áp dụng định lý Viet ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-a\\ x_1{x}_2=b+2\end{array}\right.$

Theo bài ra ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=4\\ x_1^3-x_2^3=28\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=4\\ {\left(x_1-x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1-x_2\right)=28\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=4\\ 4^3+12x_1{x}_2=28\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=4\\ x_1{x}_2=-3\end{array}\right.$mà 

$x_1{x}_2=b+2\Rightarrow b+2=-3\iff b=-3-2=-5$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-a\\ x_1-x_2=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x_1=4-a\\ 2x_2=-a-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{4-a}{2}\\ x_2=\frac{-a-4}{2}\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow x_1{x}_2=-3\iff \frac{4-a}{2}.\left(\frac{-a-4}{2}\right)=-3\\ \iff \left(4-a\right)\left(a+4\right)=12\\ \iff 16-a^2=12\iff a^2=4\iff \left[\begin{array}{l}a=2\\ a=-2\end{array}\right.\end{array}$

Với $a^2=\mathrm{4,}b=-5\Rightarrow a^2-4b-8=4-4.(-5)-8=16>0\Rightarrow$thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy có 2 cặp số $\left(a,b\right)$thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left(a,b\right)\in \left\{\left(2;-5\right);\left(-2;-5\right)\right\}$