3,  Gọi E là giao điểm của AN và IH, F là giao điểm của BN và IK. Chứng minh tứ giác IENF nội tiếp được trong đường tròn.

      2, Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số (d) và (P)

$\frac{1}{2}{x}^2=x+m-1\iff x^2-2x-2m+2=0(*)$

Theo đề bài ta có: $\left(d\right)$cắt (P) tại hai điểm $A\left(x_A,y_A\right),B\left(x_B,y_B\right)$phân biệt

$\iff \left(*\right)$có hai nghiệm phân biệt $\iff \Delta \text{'}>0$

$\iff 1-\left(-2m+2\right)>0\iff 1+2m-2>0\iff m>\frac{1}{2}$

Vậy với $m>\frac{1}{2}$thì phương trình (*) có hai nghiệm $x_A,x_B$phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=2\\ x_A{x}_B=-2m+2\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_A>0\\ x_B>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B>0\\ x_A.x_B>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2>0\forall m\\ -2m+2>0\end{array}\right.\iff -2m>-2\iff m<1$

Kết hợp các điều kiện của m ta được: $\frac{1}{2}<m<1$

Vậy $\frac{1}{2}<m<1$thỏa mãn bài toán.

     Xét $\Delta OAM$và $\Delta OBM$ta có:

$OA=OB\left(=R\right);$OM chung; $MA=MB$(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \Delta OAM=\Delta OBM\left(c.c.c\right)\Rightarrow S_{OAM}=S_{OBM}\Rightarrow S_{MAOB}=S_{OAM}+S_{OBM}=2S_{OAM}$

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông OAM ta có:

$\begin{array}{l}A{M}^2=O{M}^2-O{A}^2={\left(2R\right)}^2-R^2=3R^2\Rightarrow AM=R\sqrt{3}\\ \Rightarrow S_{MAOB}=2S_{OAM}=2.\frac{1}{2}OA.AM=R.R\sqrt{3}=R^2\sqrt{3}\left(dvdt\right)\end{array}$