Cho đường tròn (O) tâm O, đường kính AB và C là điểm nằm trên đoạn thẳng OB ( với $C\ne B)$. Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC Gọi K là giao điểm thứ hai của BD với đường tròn đường kính BC

Chứng minh tứ giác $DHCK$là tứ giác nội tiếp

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (mét) $(x>3)$

Chiều dài của mảnh đất là y mét ($y>x>3)$

Diện tích mảnh đất là $80m^2$nên ta có phương trình $xy=80\left(1\right)$

Nếu giảm chiều rộng đi 3m thì chiều rộng mới là $x-3\left(m\right)$

Nếu tăng chiều dài lên 10m thì chiều dài mới là $y+10\left(m\right)$

Diện tích mảnh đất mới là $80+20=100\left(m^2\right)$nên ta có phương trình:

$\left(x-3\right)\left(y+10\right)=100\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}xy=80\\ \left(x-3\right)\left(y+10\right)=100\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}xy=80\\ xy-3y+10x-30-100=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}xy=80\\ 80+10x-3y-130=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}10xy=800\\ 10x+3y+50\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(3y+50\right)y=800\\ 10x=3y+50\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}3y^2+50y-800=0\\ 10x=3y+50\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}y=10\left(tm\right)\\ y=-\frac{80}{3}\left(ktm\right)\end{array}\right.\\ x=\frac{80}{y}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=10\end{array}\right.\left(tm\right)\end{array}$

Vậy chiều dài mảnh đất là 10m và chiều rộng mảnh đất là 8m

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1,x_2\iff \Delta \ge 0$

$\begin{array}{l}\iff {\left(m^2+2m-15\right)}^2-16\left[{\left(m+1\right)}^2-20\right]\ge 0\\ \iff {\left[{\left(m+1\right)}^2-16\right]}^2-16{\left(m+1\right)}^2+320\ge 0\\ \iff {\left(m+1\right)}^4-32.{\left(m+1\right)}^2+256-16{\left(m+1\right)}^2+320\ge 0\\ \iff {\left(m+1\right)}^4-48.{\left(m+1\right)}^2+576\ge 0\\ \iff {\left(m+1\right)}^4-\mathrm{2.24.}{\left(m+1\right)}^2+{24}^2\ge 0\\ \left[{\left(m+1\right)}^2-24\right]\ge 0\forall m\end{array}$

Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{m^2+2m-15}{4}=-\frac{{\left(m+1\right)}^2-16}{4}=-\frac{{\left(m+1\right)}^2}{4}+4\\ x_1{x}_2=\frac{{\left(m+1\right)}^2-20}{4}=\frac{{\left(m+1\right)}^2}{4}-5\end{array}\right.\\ \Rightarrow x_1+x_2+x_1{x}_2=-1(*)\end{array}$

Theo đề bài ta có: $x_1^2+x_2+2019=0\iff x_2=-x_1^2-2019$

Thay vào (*) ta có:

$\begin{array}{l}\iff x_1^3+x_1^2+2018x_1+2018=0\iff x_1^2\left(x_1+1\right)+2018\left(x_1+1\right)=0\\ \iff \left(x_1+1\right)\left(x_1^2+2018\right)=0\iff x_1+1=0(x_1^2+2018>0)\\ \iff x_1=-1\Rightarrow x_2=-1-2019=-2020\end{array}$

Mặt khác $x_1{x}_2=\frac{{\left(m+1\right)}^2}{4}-5$

$\begin{array}{l}\iff 2020=\frac{{\left(m+1\right)}^2}{4}-5\iff 2025.4={\left(m+1\right)}^2\\ \iff {\left(m+1\right)}^2=8100\iff \left[\begin{array}{l}m+1=90\\ m+1=-90\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=89\\ m=-91\end{array}\right.\end{array}$

Vậy $m\in \left\{89;-91\right\}$thỏa mãn điều kiện bài toán