b, Một cốc nước dạng hình trụ có chiều cao là 12cm bán kính đáy là 2cm lượng nước trong cốc cao 8cm Người ta thả vào cốc nước 6 viên bi hình cầu có cùng bán kính 1cm và ngập hoàn toàn trong nước làm nước trong cốc dâng lên.Hỏi sau khi thả viên bi vào thì mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu xentimet? (Giả sử độ dài của cốc là không đáng kể)

Với n= 0 ta có phương trình $\left(1\right)\iff x^2-2mx+2m-1=0$

Phương trình có $\Delta \text{'}=m^2-2m+1={\left(m-1\right)}^2\ge 0\forall m$

Vậy với m  thì phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

Ta có: $\Delta ={\left(2m-n\right)}^2-4\left(2m+3n-1\right)=4m^2-4mn+n^2-8m-12n+4$

Phương trình (1) có hai nghiệm $x_1,x_2$ $\iff \Delta \ge 0\iff 4m^2-4mn+n^2-8m-12n+4\ge 0\left(*\right)$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-n\left(2\right)\\ x_1{x}_2=2m+3n-1\left(3\right)\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-1\\ x_1^2+x_2^2=13\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-1\left(4\right)\\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=13\left(5\right)\end{array}\right.$

Thế (3) và (4) vào (5) ta được:

$\begin{array}{l}\left(5\right)\iff {\left(-1\right)}^2-2\left(2m+3n-1\right)=13\\ \iff 1-4m-6n+2=13\\ \Rightarrow 4m+6n=-10\iff 2m+3n=-5\left(6\right)\end{array}$

Từ (2) và (4) ta có: $2m-n=-1\iff n=2m+1\left(7\right)$

Thế (7) vào (6) ta được: $2m+3\left(2m+1\right)=-5\iff 2m+6m+3=-5\iff 8m=-8\iff m=-1$

$\Rightarrow n=2m+1=2.\left(-1\right)+1=-1$

Thay $m=-\mathrm{1,}n=-1$ vào điều kiện (*) ta có:

$4.{\left(-1\right)}^2-4.\left(-1\right)\left(-1\right)+{\left(-1\right)}^2-8.\left(-1\right)-12.\left(-1\right)+4=25>0$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m=-1\\ n=-1\end{array}\right.$thỏa mãn

Vậy $m=-\mathrm{1,}n=-1$là các giá trị cần tìm