Cho a,b,c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc =1

Chứng minh : $\frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c} \leq 1$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\frac{1}{2 + a} = \frac{a b c}{2 a b c + a} = \frac{b c}{2 b c + 1}$ (Do a>0)

Áp dung BĐT Cô si ta có:

$2 b c + 1 = b c + b c + 1 \geq 3 \sqrt[3]{{(b c)}^{2}} \Rightarrow \frac{b c}{2 b c + 1} \leq \frac{b c}{3 \sqrt[3]{{(b c)}^{2}}} = \frac{\sqrt[3]{b c}}{3} \Rightarrow \frac{1}{2 + a} \leq \frac{\sqrt[3]{b c}}{3}$

Chứng minh tương tự ta có: $\frac{1}{2 + b} \leq \frac{\sqrt[3]{c a}}{3}; \frac{1}{2 + c} \leq \frac{\sqrt[3]{a b}}{3}$

Cộng vế theo vế ta được:

$\frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c} \leq \frac{1}{3} (\sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b c} + \sqrt[3]{c a}) = \frac{1}{3} (\frac{1}{\sqrt[3]{a}} + \frac{1}{\sqrt[3]{b}} + \frac{1}{\sqrt[3]{c}})$

Ta có $\begin{array}{l} \frac{1}{\sqrt[3]{a}} + \frac{1}{\sqrt[3]{b}} + \frac{1}{\sqrt[3]{c}} \leq \frac{9}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}} \leq \frac{9}{3 \sqrt[3]{\sqrt[3]{a b c}}} = \frac{9}{3} = 3 \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{a}} + \frac{1}{\sqrt[3]{b}} + \frac{1}{\sqrt[3]{c}} \leq 3 \Leftrightarrow 3 (\frac{1}{\sqrt[3]{a}} + \frac{1}{\sqrt[3]{b}} + \frac{1}{\sqrt[3]{c}}) \leq 1 \end{array}$

Vậy $\frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c} \leq 1$ $\Leftrightarrow a = b = c = 1$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b,Cho biểu thức: $B = (\frac{1}{3 - \sqrt{x}} - \frac{1}{3 + \sqrt{x}}) . \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} (x > 0, x \neq 9)$

Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để $B > \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

b, Điều kiện $x > 0, x \neq 9$

$\begin{array}{l} B = (\frac{1}{3 - \sqrt{x}} - \frac{1}{3 + \sqrt{x}}) . \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} \\ = \frac{3 + \sqrt{x} - 3 + \sqrt{x}}{(3 - \sqrt{x}) . (3 + \sqrt{x})} . \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} \\ = \frac{2 \sqrt{x}}{3 - \sqrt{x}} . \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{2}{3 - \sqrt{x}} \end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l} B > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{3 - \sqrt{x}} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{3 - \sqrt{x}} - \frac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow \frac{4 - 3 + \sqrt{x}}{2 (3 - \sqrt{x})} > 0 \\ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{2 (3 - \sqrt{x})} > 0 \Leftrightarrow 3 - \sqrt{x} > 0 (d o ... \sqrt{x} + 1 > 0 \forall x \geq 0) \\ \Leftrightarrow \sqrt{x} < 3 \Leftrightarrow x < 9 \end{array}$

Câu 2

c,Chứng minh $A C . B D = R^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

c, Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ODC vuông tại O có đường cao OM ta có $O M^{2} = M C . M D$ mà $O M = R \Rightarrow M C . M D = R^{2} (1)$

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: $A C = M C . B D = M D (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $A C . B D = R^{2}$

Câu 3