Cho tập $A=\left\{1;2;3;\mathrm{....};2021\right\}$ . Tìm số nguyên dương k lớn nhất $\left(k>2\right)$ sao cho ta có thể chọn được k số phân biệt từ tập A mà tổng của hai số phân biệt bất kỳ trong k số được chọn không chia hết cho hiệu của chúng .

Vì n chia 7 dư 3 nên 2n chia 7 dư 6

Vì n chia 9 dư 4 nên 2n chia 9 dư 8

Vì n chia 111dư 5 nên 2n chia 11 dư 10

Vì n chia 13 dư 6 nên 2n chia 13 dư 12

$\Rightarrow 2n+1$ chia hết cho 7,9,11,13

Mà n là số tự nhiên nhỏ nhất nên $2n+1=BCNN\left(7;9;11;13\right)$

$\Rightarrow 2n+1=\mathrm{7.9.11.13}\Rightarrow n=4504$

ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{l}5-x\ge 0\\ x+8\ge 0\end{array}\right.\iff -8\le x\le 5$

$13\sqrt{5-x}+18\sqrt{x+8}=61+x+3\sqrt{\left(5-x\right)\left(x+8\right)}\left(1\right)$

Đặt $a=\sqrt{5-x},a\ge 0$
(1) trở thành : $13a+18\sqrt{13-a^2}=61+5-a^2+3a\sqrt{13-a^2}$

$\begin{array}{l}\iff 3\sqrt{13-a^2}\left(6-a\right)=-a^2-13a+66\\ \iff 9\left(13-a^2\right){\left(6-a\right)}^2={\left(a^2+13a-66\right)}^2\\ \iff 9\left(13-a^2\right)\left(a^2-12a+36\right)=a^4+26a^3+37a^2-1716a+4356\\ \iff 10a^4-82a^3+244a^2-312a+144=0\\ \iff \left(a-2\right)\left(a-3\right)\left(10a^2-32a+24\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}a=2\\ a=3\\ a=\frac{6}{5}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-4\\ x=\frac{89}{25}\end{array}\right.\end{array}$

Cả 3 nghiệm thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{-4;1;\frac{89}{25}\right\}$