Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 24)

ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{l}5-x\ge 0\\ x+8\ge 0\end{array}\right.\iff -8\le x\le 5$

$13\sqrt{5-x}+18\sqrt{x+8}=61+x+3\sqrt{\left(5-x\right)\left(x+8\right)}\left(1\right)$

Đặt $a=\sqrt{5-x},a\ge 0$
(1) trở thành : $13a+18\sqrt{13-a^2}=61+5-a^2+3a\sqrt{13-a^2}$

$\begin{array}{l}\iff 3\sqrt{13-a^2}\left(6-a\right)=-a^2-13a+66\\ \iff 9\left(13-a^2\right){\left(6-a\right)}^2={\left(a^2+13a-66\right)}^2\\ \iff 9\left(13-a^2\right)\left(a^2-12a+36\right)=a^4+26a^3+37a^2-1716a+4356\\ \iff 10a^4-82a^3+244a^2-312a+144=0\\ \iff \left(a-2\right)\left(a-3\right)\left(10a^2-32a+24\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}a=2\\ a=3\\ a=\frac{6}{5}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-4\\ x=\frac{89}{25}\end{array}\right.\end{array}$

Cả 3 nghiệm thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{-4;1;\frac{89}{25}\right\}$

TH1: $x=0\Rightarrow y=0$(loại)

$Th2:x\ne 0$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}^4+y^4+6x^2{y}^2=1\left(1\right)\\ x^4+y^4+6x^2{y}^2+4xy\left(x^2+y^2\right)=1-\frac{y}{x}\left(2\right)\end{array}\right.$

Lấy (2) - (1) ta được : $4xy\left(x^2+y^2\right)=-\frac{y}{x}$

$\iff \left[\begin{array}{l}y=0\\ 4x^2\left(x^2+y^2\right)=-1\end{array}\right.$

Với y = 0 thay vào phương trình (1) $\Rightarrow x^4=1\iff x=\pm 1$

Với $4x^2\left(x^2+y^2\right)=-1$ (phương trình vô nghiệm do vế trái của phương trình luôn không âm)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm $\left(x;y\right)\in \left\{\left(-1;0\right),\left(1;0\right)\right\}$

Vì n chia 7 dư 3 nên 2n chia 7 dư 6

Vì n chia 9 dư 4 nên 2n chia 9 dư 8

Vì n chia 111dư 5 nên 2n chia 11 dư 10

Vì n chia 13 dư 6 nên 2n chia 13 dư 12

$\Rightarrow 2n+1$ chia hết cho 7,9,11,13

Mà n là số tự nhiên nhỏ nhất nên $2n+1=BCNN\left(7;9;11;13\right)$

$\Rightarrow 2n+1=\mathrm{7.9.11.13}\Rightarrow n=4504$

Ta có : $\begin{array}{l}\angle BJC=180°-\frac{1}{2}\left(\angle PBC+\angle PCB\right),\angle CKA=180°-\frac{1}{2}\left(\angle PAC+\angle PCA\right)\\ \angle ALB=180°-\frac{1}{2}\left(\angle PAB+\angle PBA\right)\\ \Rightarrow \angle BJC+\angle CKA+\angle ALB=540°-\frac{1}{2}.180°=450°\end{array}$

b) Kẻ $BM//XY\left(M\in AC\right),CN//XZ\left(N\in AB\right)$

Vì X là trung điểm của $BC\Rightarrow Y$ là trung điểm của MC 

Suy ra W là trung điểm của MN(1)

Mặt khác Y là trung điểm của $MC\Rightarrow AM=AC-2CY$

$=AC-\left(AC+CP-AP\right)$ (vì K là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ACP)$

$=AP-CP$

Tương tự $AN=AP-BP$  mà $BP=CP\Rightarrow AM=AN\Rightarrow \Delta AMN$cân tại A (2)

Từ (1) và (2), suy ra AW là phân giác của $\angle BAC$

Gọi B là tập con của tập A thỏa mãn hai phần tử bất kỳ của B có tổng không chia hết cho hiệu

Dễ thấy trong 3 số tự nhiên liên tiếp ta chỉ có thể chọn 1 phần tử vào B . Thật vậy

Với 3 số $x,x+\mathrm{1,}x+2$ nếu có 2 phần tử trong B thì :

$x+\left(x+2\right)=2x+2$chia hết cho $\left(x+2\right)-x=2$

$x+\left(x+1\right)=2x+1$ chia hết cho $x+1-x=1$ 

$\left(x+1\right)+\left(x+2\right)=2x+3$ chia hết cho $\left(x+2\right)-\left(x+1\right)=1$

Với cách xây dựng tập B như vậy thì số phần tử của B không thể lớn hơn $\left[\frac{2021}{3}+1\right]=674$

Tập $B=\left\{1;4;7;\mathrm{.....};2020\right\}$ có 674 phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy giá trị lớn nhất của k là 674