Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 24)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 \sqrt{13 - a^{2}} (6 - a) = - a^{2} - 13 a + 66 \\ \Leftrightarrow 9 (13 - a^{2}) {(6 - a)}^{2} = {(a^{2} + 13 a - 66)}^{2} \\ \Leftrightarrow 9 (13 - a^{2}) (a^{2} - 12 a + 36) = a^{4} + 26 a^{3} + 37 a^{2} - 1716 a + 4356 \\ \Leftrightarrow 10 a^{4} - 82 a^{3} + 244 a^{2} - 312 a + 144 = 0 \\ \Leftrightarrow (a - 2) (a - 3) (10 a^{2} - 32 a + 24) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 2 \\ a = 3 \\ a = \frac{6}{5} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 4 \\ x = \frac{89}{25} \end{array} \end{array}$

Cả 3 nghiệm thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{- 4; 1; \frac{89}{25}\}$

Câu 2/6

Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} x^{4} + y^{4} + 6 x^{2} y^{2} = 1 \\ x {(x + y)}^{4} = x - y \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

TH1: $x = 0 \Rightarrow y = 0$ (loại)

$T h 2 : x \neq 0$

Suy ra $\{\begin{cases} x^{4} + y^{4} + 6 x^{2} y^{2} = 1 (1) \\ x^{4} + y^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y (x^{2} + y^{2}) = 1 - \frac{y}{x} (2) \end{cases}$

Lấy (2) - (1) ta được : $4 x y (x^{2} + y^{2}) = - \frac{y}{x}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 0 \\ 4 x^{2} (x^{2} + y^{2}) = - 1 \end{array}$

Với y = 0 thay vào phương trình (1) $\Rightarrow x^{4} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Với $4 x^{2} (x^{2} + y^{2}) = - 1$ (phương trình vô nghiệm do vế trái của phương trình luôn không âm)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm $(x; y) \in \{(- 1; 0), (1; 0)\}$

Câu 3/6

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất, biết rằng khi chia n cho 7, 9, 11, 13 ta nhận được các số dư tương ứng 3, 4, 5, 6

Xem đáp án

Lời giải

Vì n chia 7 dư 3 nên 2n chia 7 dư 6

Vì n chia 9 dư 4 nên 2n chia 9 dư 8

Vì n chia 111dư 5 nên 2n chia 11 dư 10

Vì n chia 13 dư 6 nên 2n chia 13 dư 12

$\Rightarrow 2 n + 1$ chia hết cho 7,9,11,13

Mà n là số tự nhiên nhỏ nhất nên $2 n + 1 = B C N N (7; 9; 11; 13)$

$\Rightarrow 2 n + 1 = 7.9.11.13 \Rightarrow n = 4504$

Câu 4/6

Cho tam giác nhọn ABC có điểm P nằm trong tam giác (P không nằm trên các cạnh). Gọi I, K, L lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $P B C, P C A,$ PAB

a) Chứng minh rằng $∠ B J C + ∠ C K A + ∠ A L B = 450 °$

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Ta có : $\begin{array}{l} ∠ B J C = 180 ° - \frac{1}{2} (∠ P B C + ∠ P C B), ∠ C K A = 180 ° - \frac{1}{2} (∠ P A C + ∠ P C A) \\ ∠ A L B = 180 ° - \frac{1}{2} (∠ P A B + ∠ P B A) \\ \Rightarrow ∠ B J C + ∠ C K A + ∠ A L B = 540 ° - \frac{1}{2} .180 ° = 450 ° \end{array}$

Câu 5/6

b) Giả sử PB = PC và $P C < P A .$ Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của I, K, L trên các cạnh BC, CA, AB. Dựng hình bình hành XYWZ . Chứng minh rằng W nằm trên phân giác $∠ B A C$

Xem đáp án

Lời giải

b) Kẻ $B M / / X Y (M \in A C), C N / / X Z (N \in A B)$

Vì X là trung điểm của $B C \Rightarrow Y$ là trung điểm của MC

Suy ra W là trung điểm của MN(1)

Mặt khác Y là trung điểm của $M C \Rightarrow A M = A C - 2 C Y$

$= A C - (A C + C P - A P)$ (vì K là tâm đường tròn nội tiếp $Δ A C P)$

$= A P - C P$

Tương tự $A N = A P - B P$ mà $B P = C P \Rightarrow A M = A N \Rightarrow Δ A M N$ cân tại A (2)

Từ (1) và (2), suy ra AW là phân giác của $∠ B A C$

Câu 6/6

Cho tập $A = \{1; 2; 3; ....; 2021\}$ . Tìm số nguyên dương k lớn nhất $(k > 2)$ sao cho ta có thể chọn được k số phân biệt từ tập A mà tổng của hai số phân biệt bất kỳ trong k số được chọn không chia hết cho hiệu của chúng .

Xem đáp án

Lời giải

Gọi B là tập con của tập A thỏa mãn hai phần tử bất kỳ của B có tổng không chia hết cho hiệu

Dễ thấy trong 3 số tự nhiên liên tiếp ta chỉ có thể chọn 1 phần tử vào B . Thật vậy

Với 3 số $x, x + 1, x + 2$ nếu có 2 phần tử trong B thì :

$x + (x + 2) = 2 x + 2$ chia hết cho $(x + 2) - x = 2$

$x + (x + 1) = 2 x + 1$ chia hết cho $x + 1 - x = 1$

$(x + 1) + (x + 2) = 2 x + 3$ chia hết cho $(x + 2) - (x + 1) = 1$

Với cách xây dựng tập B như vậy thì số phần tử của B không thể lớn hơn $[\frac{2021}{3} + 1] = 674$

Tập $B = \{1; 4; 7; .....; 2020\}$ có 674 phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy giá trị lớn nhất của k là 674

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Giải phương trình : $13 \sqrt{5 - x} + 18 \sqrt{x + 8} = 61 + x + 3 \sqrt{(5 - x) (x + 8)}$

Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} x^{4} + y^{4} + 6 x^{2} y^{2} = 1 \\ x {(x + y)}^{4} = x - y \end{cases}$