Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 24)

8929 lượt thi
6 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Giải phương trình : $13 \sqrt{5 - x} + 18 \sqrt{x + 8} = 61 + x + 3 \sqrt{(5 - x) (x + 8)}$

Xem đáp án

ĐKXĐ: $\{\begin{cases} 5 - x \geq 0 \\ x + 8 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 8 \leq x \leq 5$

$13 \sqrt{5 - x} + 18 \sqrt{x + 8} = 61 + x + 3 \sqrt{(5 - x) (x + 8)} (1)$

Đặt $a = \sqrt{5 - x}, a \geq 0$
(1) trở thành : $13 a + 18 \sqrt{13 - a^{2}} = 61 + 5 - a^{2} + 3 a \sqrt{13 - a^{2}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 \sqrt{13 - a^{2}} (6 - a) = - a^{2} - 13 a + 66 \\ \Leftrightarrow 9 (13 - a^{2}) {(6 - a)}^{2} = {(a^{2} + 13 a - 66)}^{2} \\ \Leftrightarrow 9 (13 - a^{2}) (a^{2} - 12 a + 36) = a^{4} + 26 a^{3} + 37 a^{2} - 1716 a + 4356 \\ \Leftrightarrow 10 a^{4} - 82 a^{3} + 244 a^{2} - 312 a + 144 = 0 \\ \Leftrightarrow (a - 2) (a - 3) (10 a^{2} - 32 a + 24) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 2 \\ a = 3 \\ a = \frac{6}{5} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 4 \\ x = \frac{89}{25} \end{array} \end{array}$

Cả 3 nghiệm thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{- 4; 1; \frac{89}{25}\}$

Câu 2:

Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} x^{4} + y^{4} + 6 x^{2} y^{2} = 1 \\ x {(x + y)}^{4} = x - y \end{cases}$

Xem đáp án

TH1: $x = 0 \Rightarrow y = 0$ (loại)

$T h 2 : x \neq 0$

Suy ra $\{\begin{cases} x^{4} + y^{4} + 6 x^{2} y^{2} = 1 (1) \\ x^{4} + y^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y (x^{2} + y^{2}) = 1 - \frac{y}{x} (2) \end{cases}$

Lấy (2) - (1) ta được : $4 x y (x^{2} + y^{2}) = - \frac{y}{x}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 0 \\ 4 x^{2} (x^{2} + y^{2}) = - 1 \end{array}$

Với y = 0 thay vào phương trình (1) $\Rightarrow x^{4} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Với $4 x^{2} (x^{2} + y^{2}) = - 1$ (phương trình vô nghiệm do vế trái của phương trình luôn không âm)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm $(x; y) \in \{(- 1; 0), (1; 0)\}$

Câu 3:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất, biết rằng khi chia n cho 7, 9, 11, 13 ta nhận được các số dư tương ứng 3, 4, 5, 6

Xem đáp án

Vì n chia 7 dư 3 nên 2n chia 7 dư 6

Vì n chia 9 dư 4 nên 2n chia 9 dư 8

Vì n chia 111dư 5 nên 2n chia 11 dư 10

Vì n chia 13 dư 6 nên 2n chia 13 dư 12

$\Rightarrow 2 n + 1$ chia hết cho 7,9,11,13

Mà n là số tự nhiên nhỏ nhất nên $2 n + 1 = B C N N (7; 9; 11; 13)$

$\Rightarrow 2 n + 1 = 7.9.11.13 \Rightarrow n = 4504$

Câu 4:

Cho tam giác nhọn ABC có điểm P nằm trong tam giác (P không nằm trên các cạnh). Gọi I, K, L lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $P B C, P C A,$ PAB

a) Chứng minh rằng $∠ B J C + ∠ C K A + ∠ A L B = 450 °$

Xem đáp án

Ta có : $\begin{array}{l} ∠ B J C = 180 ° - \frac{1}{2} (∠ P B C + ∠ P C B), ∠ C K A = 180 ° - \frac{1}{2} (∠ P A C + ∠ P C A) \\ ∠ A L B = 180 ° - \frac{1}{2} (∠ P A B + ∠ P B A) \\ \Rightarrow ∠ B J C + ∠ C K A + ∠ A L B = 540 ° - \frac{1}{2} .180 ° = 450 ° \end{array}$

Câu 5:

b) Giả sử PB = PC và $P C < P A .$ Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của I, K, L trên các cạnh BC, CA, AB. Dựng hình bình hành XYWZ . Chứng minh rằng W nằm trên phân giác $∠ B A C$

Xem đáp án

b) Kẻ $B M / / X Y (M \in A C), C N / / X Z (N \in A B)$

Vì X là trung điểm của $B C \Rightarrow Y$ là trung điểm của MC

Suy ra W là trung điểm của MN(1)

Mặt khác Y là trung điểm của $M C \Rightarrow A M = A C - 2 C Y$

$= A C - (A C + C P - A P)$ (vì K là tâm đường tròn nội tiếp $Δ A C P)$

$= A P - C P$

Tương tự $A N = A P - B P$ mà $B P = C P \Rightarrow A M = A N \Rightarrow Δ A M N$ cân tại A (2)

Từ (1) và (2), suy ra AW là phân giác của $∠ B A C$

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)