Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 14)

Câu 1/11

a) Tính $A = \sqrt{4} + \sqrt{3} . \sqrt{12}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có : $A = \sqrt{4} + \sqrt{3} . \sqrt{12} = 2 + \sqrt{36} = 2 + 6 = 8$

Vậy A = 8

Câu 2/11

b) Cho biểu thức $B = (\frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} + \frac{x + 4}{4 - x}) : \frac{x}{x - 2 \sqrt{x}} (\begin{array}{l} x > 0 \\ x \neq 4 \end{array})$

Rút gọn B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để $B < - \sqrt{x}$

Xem đáp án

Lời giải

b) Với $x > 0, x \neq 4$ thì

$\begin{array}{l} B = (\frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} + \frac{x + 4}{4 - x}) : \frac{x}{x - 2 \sqrt{x}} \\ = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) - x - 4}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} . \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2)}{x} = \frac{x - 2 \sqrt{x} - x - 4}{(\sqrt{x} + 2) . \sqrt{x}} \\ = \frac{- 2 (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2) . \sqrt{x}} = \frac{- 2}{\sqrt{x}} \end{array}$

$\begin{array}{l} B < - \sqrt{x} \Leftrightarrow \frac{- 2}{\sqrt{x}} < - \sqrt{x} \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} > 0 \\ \Leftrightarrow \frac{2 - x}{\sqrt{x}} > 0 \Leftrightarrow 2 - x > 0 \Leftrightarrow x < 2 \end{array}$

Kết $B < - \sqrt{x}$ hợp với điều kiện $\Rightarrow 0 < x < 2$ thì $B < - \sqrt{x}$

Câu 3/11

Cho hàm số $y = x^{2}$ có đồ thị (P) và đường thẩng (d): y = kx - 2k + 4

a) Vẽ đồ thị (P).Chứng minh rằng (d) luôn đi qua điểm C(2; 4)

Xem đáp án

Lời giải

a) +)Vẽ đồ thị (P)

Parabol $(P) : y = x^{2}$ có bề lõm hướng lên và nhận Oy làm trục đối xứng

Hệ số $a = 1 > 0$ nên hàm số đồng biến khi $x > 0$ và nghịch biến khi $x < 0$

Ta có bảng giá trị sau :

$\begin{array}{l} x - 2 - 1012 \\ y = x^{2} 41014 \end{array}$

$\Rightarrow P a r a b o l (P) : y = x^{2}$ đi qua các điểm $(- 2; 4), (- 1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4)$

Đồ thị parabol (P):y=x2
Media VietJack

+) Chứng minh rằng (d) luôn đi qua điểm C(2;4)

Thay xx= 2; y = 4 vào phương trình $(d) : y = k x - 2 k + 4$ ta được:

$4 = 2 k - 2 k + 4 \Leftrightarrow 4 = 4 (l u o n d u n g)$

Vậy (d) luôn đi qua điêm C(2;4) với mọi m

Câu 4/11

b) Gọi H là hình chiếu của điểm B( -4;4) trên (d). Chứng minh rằng khi k thay đổi $(k \neq 0)$ thì diện tích tam giác HBC không vượt quá $9 c m^{2}$ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet)

Xem đáp án

Lời giải

b) Vì $∆ H B C$ vuông tại H nên ta có : $S_{Δ H B C} = \frac{1}{2} H B . H C \leq \frac{1}{4} (H B^{2} + H C^{2})$

Áp dụng định lý Pytago ta có : $H B^{2} + H C^{2} = B C^{2} = 6^{2} = 36 \Rightarrow S_{Δ H B C} \leq \frac{1}{4} .36 = 9 (d f c m)$

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $H B = H C \Leftrightarrow Δ H B C$ vuông cân tại H.

Câu 5/11

Cho phương trình $x^{2} + 4 (m - 1) x - 12 = 0 ()$ với m là tham số

a) Giải phương trình $()$ khi m = 2

Xem đáp án

Lời giải

a) Thay m= 2 vào phương trình (*) ta có :

$x^{2} + 4 (2 - 1) x - 12 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 12 = 0$

Ta có : $Δ' = 2^{2} + 12 = 16 = 4^{2} > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

$[\begin{array}{l} x_{1} = - 2 + 4 = 2 \\ x_{2} = - 2 - 4 = - 6 \end{array}$

Vậy với m = 2 thì tập nghiệm của phương trình (*) là $S = \{2; - 6\}$

Câu 6/11

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $4 |x_{1} - 2| \sqrt{4 - m x_{2}} = {(x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} - 8)}^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

b) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2} \Leftrightarrow Δ' > 0$

$\Leftrightarrow 4 {(m - 1)}^{2} + 12 > 0$ (luôn đúng với mọi m)

Nên phương trình $(*)$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ với mọi m

Khi đó, áp dụng định lý Viet, ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = 4 (1 - m) (1) \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = - 12 (2) \end{cases}$

Vì $x_{2}$ là nghiệm của phương trình (*) nên :

$\begin{array}{l} x_{2}^{2} + 4 (m - 1) x_{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow x_{2}^{2} + 4 m x_{2} - 4 x_{2} - 12 = 0 \\ \Leftrightarrow x_{2}^{2} + 4 (m x_{2} - 4) - 4 x_{2} + 4 = 0 \\ \Leftrightarrow 4 (4 - m x_{2}) = x_{2}^{2} - 4 x_{2} + 4 = {(x_{2} - 2)}^{2} \\ \Leftrightarrow 2 \sqrt{4 - m x_{2}} = \sqrt{{(x_{2} - 2)}^{2}} = |x_{2} - 2| \end{array}$

Khi đó ta có :

$\begin{array}{l} 4 |x_{1} - 2| \sqrt{4 - m x_{2}} = {(x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} - 8)}^{2} \\ \Leftrightarrow 2 |x_{1} - 2| |x_{2} - 2| = {[4 (1 - m) + 12 - 8]}^{2} \\ \Leftrightarrow 2 |x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) + 4| = {(8 - 4 m)}^{2} \\ \Leftrightarrow 2 |- 12 - 2.4 (1 - m) + 4| = 64 - 64 m + 16 m^{2} \\ \Leftrightarrow |- 16 + 8 m| = 8 (m^{2} - 4 m + 4) \\ \Leftrightarrow |m - 2| = {(m - 2)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(m - 2)}^{2} = {(m - 2)}^{4} \Leftrightarrow {(m - 2)}^{2} . [{(m - 2)}^{2} - 1] = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m - 2 = 0 \\ m - 2 = 1 \\ m - 2 = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = 3 \\ m = 1 \end{array} \end{array}$

Vậy $m \in \{1; 2; 3\}$ là các giá trị thỏa mãn bài toán

Câu 7/11