Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 8)

Ta có : $\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ 2 x + 3 y = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 4 y = 12 \\ 2 x + 3 y = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 5 \\ x = - 4 \end{cases}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (- 4; 5)$

Câu 4/10

Cho phương trình $x^{2} - (m + 3) x - 2 m^{2} + 3 m = 0 (m$ là tham số). Hãy tìm giá trị của m để x = 3 là nghiệm của phương trình và xác định nghiệm còn lại của phương trình (nếu có)

Xem đáp án

Lời giải

Vì x = 3 là nghiệm của phương trình nên ta có :

$\begin{array}{l} 3^{2} - (m + 3) .3 - 2 m^{2} + 3 m = 0 \Leftrightarrow 9 - 3 m - 9 - 2 m^{2} + 3 m = 0 \\ \Leftrightarrow 2 m^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 0 \end{array}$

Thay m = 0 vào phương trình ban đầu $\Rightarrow x^{2} - 3 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array}$

Vậy m = 0 và phương trình có nghiệm còn lại x = 0

Câu 5/10

Cho Parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = (2 m + 1) x - 2 m (m$ là tham số). Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1}); B (x_{2}; y_{2})$ sao cho $y_{1} + y_{2} - x_{1} x_{2} = 1$

Xem đáp án

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) ta được :

$x^{2} = (2 m + 1) x - 2 m \Leftrightarrow x^{2} - (2 m + 1) x + 2 m = 0 (1)$

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow Δ > 0 \Leftrightarrow {(2 m + 1)}^{2} - 8 m > 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 4 m + 1 > 0 \\ \Leftrightarrow {(2 m - 1)}^{2} > 0 \Leftrightarrow m \neq \frac{1}{2} \end{array}$

Khi đó, áp dụng hệ thức Vi- et ta có : $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 1 \\ x_{1} x_{2} = 2 m \end{cases}$

Ta có : $A, B \in (P) \Rightarrow \{\begin{cases} y_{1} = x_{1}^{2} \\ y_{2} = x_{2}^{2} \end{cases} \Rightarrow A (x_{1}; x_{1}^{2}); B (x_{2}; x_{2}^{2})$ . Theo bài ra ta có :

$\begin{array}{l} y_{1} + y_{2} - x_{1} x_{2} = 1 \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 1 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 1 \\ \Leftrightarrow {(2 m + 1)}^{2} - 6 m - 1 = 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 2 m = 0 \\ \Leftrightarrow 2 m (2 m - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 (t m) \\ m = \frac{1}{2} (k t m) \end{array} \end{array}$

Vậy m = 0

Câu 6/10

Một xe máy khởi hành tại địa điểm A đi đến địa điểm B cách A 160 km sau đó 1 giờ, một ô tô đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại địa điểm C cách B 72km. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 20 km / giờ. Tính vận tốc mỗi xe

Xem đáp án

Lời giải

Gọi vận tốc của xe máy là $x (k m / h) (x > 0)$

Nên vận tốc của ô tô là $x + 20 (k m / h)$

Quãng đường $A C : 160 - 72 = 88 (k m)$

Thời gian xe máy đi từ A đến C là $\frac{88}{x} (h)$

Thời gian ô tô đi từ B đến C là : $\frac{72}{x + 20} (h)$

Vì ô tô đi muộn hơn xe máy giờ nên thời gian ô tô đi từ B đến C ít hơn thời gian ô tô đi từ A đến C là 1 giờ, ta có phương trình :

$\begin{array}{l} \frac{88}{x} - \frac{72}{x + 20} = 1 \Leftrightarrow \frac{88 (x + 20) - 72 x}{x (x + 20)} = 1 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 20 x = 88 x + 1760 - 72 x \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 1760 = 0 \end{array}$

Ta có : $Δ' = 2^{2} + 1760 = 1764 = 42^{2} > 0$ nên phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt: $[\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- 2 + 42}{1} = 40 (t m) \\ x_{2} = \frac{- 2 - 42}{1} = - 44 (k t m) \end{array}$

Vậy vận tốc của xe máy là $40 k m / h$ và của ô tô là $40 + 20 = 60 k m / h$

Câu 7/10