Một xe máy khởi hành tại địa điểm A đi đến địa điểm B cách A 160 km sau đó 1 giờ, một ô tô đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại địa điểm C cách B 72km. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 20 km / giờ. Tính vận tốc mỗi xe

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) ta được :

$x^2=\left(2m+1\right)x-2m\iff x^2-\left(2m+1\right)x+2m=0\left(1\right)$

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt $\iff \left(1\right)$có hai nghiệm phân biệt  $x_1,x_2$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \Delta >0\iff {\left(2m+1\right)}^2-8m>0\iff 4m^2-4m+1>0\\ \iff {\left(2m-1\right)}^2>0\iff m\ne \frac{1}{2}\end{array}$

Khi đó, áp dụng hệ thức Vi- et ta có : $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m+1\\ x_1{x}_2=2m\end{array}\right.$

Ta có : $A,B\in \left(P\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1^2\\ y_2=x_2^2\end{array}\right.\Rightarrow A\left(x_1;x_1^2\right);B\left(x_2;x_2^2\right)$. Theo bài ra ta có :

$\begin{array}{l}{y}_1+y_2-x_1{x}_2=1\iff x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=1\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2=1\\ \iff {\left(2m+1\right)}^2-6m-1=0\iff 4m^2-2m=0\\ \iff 2m\left(2m-1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\left(tm\right)\\ m=\frac{1}{2}\left(ktm\right)\end{array}\right.\end{array}$

Vậy m = 0

Ta có : $x=4-2\sqrt{3}={\left(\sqrt{3}-1\right)}^2\Rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}=\sqrt{3}-1\left(tmdk\right)$

Thay $x=4-2\sqrt{3};\sqrt{x}=\sqrt{3}-1$vào biểu thức P sau khi rút gọn ta có :

$P=\frac{4-2\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1+1}=\frac{5-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}-6}{3}$

Vậy khi $x=4-2\sqrt{3}$thì  $P=\frac{5\sqrt{3}-6}{3}$