Cho a, b, c là các số dương thỏa $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2.$Chứng minh rằng $abc\le \frac{1}{8}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) ta được :

$x^2=\left(2m+1\right)x-2m\iff x^2-\left(2m+1\right)x+2m=0\left(1\right)$

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt $\iff \left(1\right)$có hai nghiệm phân biệt  $x_1,x_2$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \Delta >0\iff {\left(2m+1\right)}^2-8m>0\iff 4m^2-4m+1>0\\ \iff {\left(2m-1\right)}^2>0\iff m\ne \frac{1}{2}\end{array}$

Khi đó, áp dụng hệ thức Vi- et ta có : $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m+1\\ x_1{x}_2=2m\end{array}\right.$

Ta có : $A,B\in \left(P\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1^2\\ y_2=x_2^2\end{array}\right.\Rightarrow A\left(x_1;x_1^2\right);B\left(x_2;x_2^2\right)$. Theo bài ra ta có :

$\begin{array}{l}{y}_1+y_2-x_1{x}_2=1\iff x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=1\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2=1\\ \iff {\left(2m+1\right)}^2-6m-1=0\iff 4m^2-2m=0\\ \iff 2m\left(2m-1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\left(tm\right)\\ m=\frac{1}{2}\left(ktm\right)\end{array}\right.\end{array}$

Vậy m = 0

Gọi vận tốc của xe máy là $x\left(km/h\right)\left(x>0\right)$

Nên vận tốc của ô tô là $x+20\left(km/h\right)$

Quãng đường $AC:160-72=88\left(km\right)$

Thời gian xe máy đi từ A đến C là $\frac{88}{x}\left(h\right)$

Thời gian ô tô đi từ B đến C là : $\frac{72}{x+20}\left(h\right)$

Vì ô tô đi muộn hơn xe máy giờ nên thời gian ô tô đi từ B đến C ít hơn thời gian ô tô đi từ A đến C là 1 giờ, ta có phương trình :

$\begin{array}{l}\frac{88}{x}-\frac{72}{x+20}=1\iff \frac{88\left(x+20\right)-72x}{x\left(x+20\right)}=1\\ \iff x^2+20x=88x+1760-72x\iff x^2+4x-1760=0\end{array}$

Ta có : $\Delta \text{'}=2^2+1760=1764={42}^2>0$nên phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt: $\left[\begin{array}{l}{x}_1=\frac{-2+42}{1}=40\left(tm\right)\\ x_2=\frac{-2-42}{1}=-44\left(ktm\right)\end{array}\right.$

Vậy vận tốc của xe máy là $40km/h$và của ô tô là $40+20=60km/h$