Cho a, b, c là các số dương thỏa 11+a+11+b+11+c=2.Chứng minh rằng abc≤18

Ta có : 11+a+11+b+11+c=2⇒11+a=2−11+b−11+c=1−11+b+1−11+c⇒11+a=2−11+b−11+c=b1+b+c1+c Áp dụng BĐT Co si ta có : 11+a=b1+b+c1+c≥2bc1+b1+c Chứng minh tương tự : 11+b≥2ca1+c1+a,11+c≥2ab1+a1+b Nhân vế theo vế của 3 BĐT trên ta có : 11+a.11+b.11+c≥8a2b2c21+a21+b21+c2=8abc1+a1+b1+c⇔1≥8abc⇔abc≤18(dfcm) Dấu "="xảy ra khi và chỉ khi a=b=c11+a+11+b+11+c=2⇔a=b=c31+a=2⇔a=b=c=12

Câu hỏi:

12/07/2024 3,245

Cho a, b, c là các số dương thỏa $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2.$ Chứng minh rằng $a b c \leq \frac{1}{8}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có :

$\begin{array}{l} \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2 \Rightarrow \frac{1}{1 + a} = 2 - \frac{1}{1 + b} - \frac{1}{1 + c} = 1 - \frac{1}{1 + b} + 1 - \frac{1}{1 + c} \\ \Rightarrow \frac{1}{1 + a} = 2 - \frac{1}{1 + b} - \frac{1}{1 + c} = \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} \end{array}$

Áp dụng BĐT Co si ta có : $\frac{1}{1 + a} = \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} \geq 2 \sqrt{\frac{b c}{(1 + b) (1 + c)}}$

Chứng minh tương tự : $\frac{1}{1 + b} \geq 2 \sqrt{\frac{c a}{(1 + c) (1 + a)}}, \frac{1}{1 + c} \geq 2 \sqrt{\frac{a b}{(1 + a) (1 + b)}}$

Nhân vế theo vế của 3 BĐT trên ta có :

$\begin{array}{l} \frac{1}{1 + a} . \frac{1}{1 + b} . \frac{1}{1 + c} \geq 8 \sqrt{\frac{a^{2} b^{2} c^{2}}{{(1 + a)}^{2} {(1 + b)}^{2} {(1 + c)}^{2}}} = \frac{8 a b c}{(1 + a) (1 + b) (1 + c)} \\ \Leftrightarrow 1 \geq 8 a b c \Leftrightarrow a b c \leq \frac{1}{8} (d f c m) \end{array}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{cases} a = b = c \\ \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b = c \\ \frac{3}{1 + a} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{2}$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho Parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = (2 m + 1) x - 2 m (m$ là tham số). Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1}); B (x_{2}; y_{2})$ sao cho $y_{1} + y_{2} - x_{1} x_{2} = 1$

Xem đáp án » 12/07/2024 21,870

Câu 2:

Một xe máy khởi hành tại địa điểm A đi đến địa điểm B cách A 160 km sau đó 1 giờ, một ô tô đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại địa điểm C cách B 72km. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 20 km / giờ. Tính vận tốc mỗi xe

Xem đáp án » 12/07/2024 12,979

Câu 3:

b) Tìm giá trị của P khi $x = 4 - 2 \sqrt{3}$

Xem đáp án » 12/07/2024 8,058

Câu 4:

Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ 2 x + 3 y = 7 \end{cases}$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,264

Câu 5:

Cho biểu thức $P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1}) : (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1}) (\begin{array}{l} x > 0 \\ x \neq 1 \end{array})$

a) Rút gọn biểu thức P

Xem đáp án » 12/07/2024 2,965

Câu 6:

Cho tam giác ABC có $∠ A C B > 90 °$ nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M là trung điểm BC, đường thẳng OM cắt cung nhỏ $\overset{⏜}{B C}$ tại D, cắt cung lớn $\overset{⏜}{B C}$ tại F. Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ E xuống AB, H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống

a) Chứng minh tứ giác BEHF là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án » 12/07/2024 2,899

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

Cho a, b, c là các số dương thỏa $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2.$ Chứng minh rằng $a b c \leq \frac{1}{8}$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho Parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = (2 m + 1) x - 2 m (m$ là tham số). Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1}); B (x_{2}; y_{2})$ sao cho $y_{1} + y_{2} - x_{1} x_{2} = 1$

b) Tìm giá trị của P khi $x = 4 - 2 \sqrt{3}$

Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ 2 x + 3 y = 7 \end{cases}$

Cho biểu thức $P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1}) : (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1}) (\begin{array}{l} x > 0 \\ x \neq 1 \end{array})$

a) Rút gọn biểu thức P

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho a, b, c là các số dương thỏa 11+a+11+b+11+c=2.Chứng minh rằng abc≤18

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho Parabol P:y=x2 và đường thẳng d:y=2m+1x−2mm là tham số). Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt Ax1;y1;Bx2;y2 sao cho y1+y2−x1x2=1

b) Tìm giá trị của P khi x=4−23

Giải hệ phương trình :x+2y=62x+3y=7

Cho biểu thức P=xx−1−1x+1:1x+1+2x−1x>0x≠1 a) Rút gọn biểu thức P

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là các số dương thỏa $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2.$ Chứng minh rằng $a b c \leq \frac{1}{8}$

Cho Parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = (2 m + 1) x - 2 m (m$ là tham số). Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1}); B (x_{2}; y_{2})$ sao cho $y_{1} + y_{2} - x_{1} x_{2} = 1$

b) Tìm giá trị của P khi $x = 4 - 2 \sqrt{3}$

Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ 2 x + 3 y = 7 \end{cases}$

Cho biểu thức $P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1}) : (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1}) (\begin{array}{l} x > 0 \\ x \neq 1 \end{array})$

a) Rút gọn biểu thức P