Cho a, b, c là các số dương thỏa 11+a+11+b+11+c=2.Chứng minh rằng abc≤18

Ta có : 11+a+11+b+11+c=2⇒11+a=2−11+b−11+c=1−11+b+1−11+c⇒11+a=2−11+b−11+c=b1+b+c1+c Áp dụng BĐT Co si ta có : 11+a=b1+b+c1+c≥2bc1+b1+c Chứng minh tương tự : 11+b≥2ca1+c1+a,11+c≥2ab1+a1+b Nhân vế theo vế của 3 BĐT trên ta có : 11+a.11+b.11+c≥8a2b2c21+a21+b21+c2=8abc1+a1+b1+c⇔1≥8abc⇔abc≤18(dfcm) Dấu "="xảy ra khi và chỉ khi a=b=c11+a+11+b+11+c=2⇔a=b=c31+a=2⇔a=b=c=12

Câu hỏi:

19/08/2025 7,047

Cho a, b, c là các số dương thỏa $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2.$ Chứng minh rằng $a b c \leq \frac{1}{8}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có :

$\begin{array}{l} \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2 \Rightarrow \frac{1}{1 + a} = 2 - \frac{1}{1 + b} - \frac{1}{1 + c} = 1 - \frac{1}{1 + b} + 1 - \frac{1}{1 + c} \\ \Rightarrow \frac{1}{1 + a} = 2 - \frac{1}{1 + b} - \frac{1}{1 + c} = \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} \end{array}$

Áp dụng BĐT Co si ta có : $\frac{1}{1 + a} = \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} \geq 2 \sqrt{\frac{b c}{(1 + b) (1 + c)}}$

Chứng minh tương tự : $\frac{1}{1 + b} \geq 2 \sqrt{\frac{c a}{(1 + c) (1 + a)}}, \frac{1}{1 + c} \geq 2 \sqrt{\frac{a b}{(1 + a) (1 + b)}}$

Nhân vế theo vế của 3 BĐT trên ta có :

$\begin{array}{l} \frac{1}{1 + a} . \frac{1}{1 + b} . \frac{1}{1 + c} \geq 8 \sqrt{\frac{a^{2} b^{2} c^{2}}{{(1 + a)}^{2} {(1 + b)}^{2} {(1 + c)}^{2}}} = \frac{8 a b c}{(1 + a) (1 + b) (1 + c)} \\ \Leftrightarrow 1 \geq 8 a b c \Leftrightarrow a b c \leq \frac{1}{8} (d f c m) \end{array}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{cases} a = b = c \\ \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b = c \\ \frac{3}{1 + a} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{2}$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho Parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = (2 m + 1) x - 2 m (m$ là tham số). Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1}); B (x_{2}; y_{2})$ sao cho $y_{1} + y_{2} - x_{1} x_{2} = 1$

Xem đáp án

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) ta được :

$x^{2} = (2 m + 1) x - 2 m \Leftrightarrow x^{2} - (2 m + 1) x + 2 m = 0 (1)$

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow Δ > 0 \Leftrightarrow {(2 m + 1)}^{2} - 8 m > 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 4 m + 1 > 0 \\ \Leftrightarrow {(2 m - 1)}^{2} > 0 \Leftrightarrow m \neq \frac{1}{2} \end{array}$

Khi đó, áp dụng hệ thức Vi- et ta có : $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 1 \\ x_{1} x_{2} = 2 m \end{cases}$

Ta có : $A, B \in (P) \Rightarrow \{\begin{cases} y_{1} = x_{1}^{2} \\ y_{2} = x_{2}^{2} \end{cases} \Rightarrow A (x_{1}; x_{1}^{2}); B (x_{2}; x_{2}^{2})$ . Theo bài ra ta có :

$\begin{array}{l} y_{1} + y_{2} - x_{1} x_{2} = 1 \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 1 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 1 \\ \Leftrightarrow {(2 m + 1)}^{2} - 6 m - 1 = 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 2 m = 0 \\ \Leftrightarrow 2 m (2 m - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 (t m) \\ m = \frac{1}{2} (k t m) \end{array} \end{array}$

Vậy m = 0

Câu 2

Một xe máy khởi hành tại địa điểm A đi đến địa điểm B cách A 160 km sau đó 1 giờ, một ô tô đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại địa điểm C cách B 72km. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 20 km / giờ. Tính vận tốc mỗi xe

Xem đáp án

Lời giải

Gọi vận tốc của xe máy là $x (k m / h) (x > 0)$

Nên vận tốc của ô tô là $x + 20 (k m / h)$

Quãng đường $A C : 160 - 72 = 88 (k m)$

Thời gian xe máy đi từ A đến C là $\frac{88}{x} (h)$

Thời gian ô tô đi từ B đến C là : $\frac{72}{x + 20} (h)$

Vì ô tô đi muộn hơn xe máy giờ nên thời gian ô tô đi từ B đến C ít hơn thời gian ô tô đi từ A đến C là 1 giờ, ta có phương trình :

$\begin{array}{l} \frac{88}{x} - \frac{72}{x + 20} = 1 \Leftrightarrow \frac{88 (x + 20) - 72 x}{x (x + 20)} = 1 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 20 x = 88 x + 1760 - 72 x \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 1760 = 0 \end{array}$

Ta có : $Δ' = 2^{2} + 1760 = 1764 = 42^{2} > 0$ nên phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt: $[\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- 2 + 42}{1} = 40 (t m) \\ x_{2} = \frac{- 2 - 42}{1} = - 44 (k t m) \end{array}$

Vậy vận tốc của xe máy là $40 k m / h$ và của ô tô là $40 + 20 = 60 k m / h$

Câu 3

b) Tìm giá trị của P khi $x = 4 - 2 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác ABC có $∠ A C B > 90 °$ nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M là trung điểm BC, đường thẳng OM cắt cung nhỏ $\overset{⏜}{B C}$ tại D, cắt cung lớn $\overset{⏜}{B C}$ tại F. Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ E xuống AB, H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống

a) Chứng minh tứ giác BEHF là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ 2 x + 3 y = 7 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho biểu thức $P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1}) : (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1}) (\begin{array}{l} x > 0 \\ x \neq 1 \end{array})$

a) Rút gọn biểu thức P

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho a, b, c là các số dương thỏa $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2.$ Chứng minh rằng $a b c \leq \frac{1}{8}$

Cho Parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = (2 m + 1) x - 2 m (m$ là tham số). Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1}); B (x_{2}; y_{2})$ sao cho $y_{1} + y_{2} - x_{1} x_{2} = 1$

b) Tìm giá trị của P khi $x = 4 - 2 \sqrt{3}$

Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ 2 x + 3 y = 7 \end{cases}$

Cho biểu thức $P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1}) : (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1}) (\begin{array}{l} x > 0 \\ x \neq 1 \end{array})$

a) Rút gọn biểu thức P