Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 25)

8944 lượt thi
9 câu hỏi
60 phút

Câu 1:

Cho $P = (\frac{b - a}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} - \frac{a \sqrt{a} - b \sqrt{b}}{a - b}) : \frac{{(\sqrt{b} - \sqrt{a})}^{2} + \sqrt{a b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} (\begin{array}{l} a \geq 0, b \geq 0 \\ a \neq b \end{array})$

a) Rút gọn P

$\begin{array}{l} P = (\frac{b - a}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} - \frac{a \sqrt{a} - b \sqrt{b}}{a - b}) : \frac{{(\sqrt{b} - \sqrt{a})}^{2} + \sqrt{a b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \\ = [\frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a}) (\sqrt{b} + \sqrt{a})}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a^{3}} - \sqrt{b^{3}}}{a - b}] : \frac{b - 2 \sqrt{a b} + a + \sqrt{a b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \\ = (\sqrt{b} + \sqrt{a} - \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (a + \sqrt{a b} + b)}{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b})}) : \frac{b - \sqrt{a b} + a}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \\ = \frac{{(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} - a - \sqrt{a b} - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} . \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{b - \sqrt{a b} + a} = \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b - a - \sqrt{a b} - b}{b - \sqrt{a b} + a} \\ = \frac{\sqrt{a b}}{a - \sqrt{a b} + b} \end{array}$

Vậy $P = \frac{\sqrt{a b}}{a - \sqrt{a b} + b}$ với $a \geq 0, b \geq 0, a \neq b$

Câu 2:

b) Chứng minh rằng $P \geq 0$

Xem đáp án

b) Ta có : ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0 \Leftrightarrow a + b \geq 2 \sqrt{a b} > \sqrt{a b}$

Do đó $a + b - \sqrt{a b} > 0.$ Mà $\sqrt{a b} \geq 0$

Suy ra $P = \frac{\sqrt{a b}}{a - \sqrt{a b} + b} \geq 0$ với $a \geq 0, b \geq 0, a \neq b$ (đpcm)

Câu 3:

a) Chứng minh rằng : với mọi giá trị của m ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + 3 = 0; x^{2} - m x + 4 m - 11 = 0$

Xem đáp án

a) Đặt $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + 3 = 0 (1)$ và $x^{2} - m x + 4 m - 11 = 0 (2)$

Giả sử cả 2 phương trình đều vô nghiệm $\Rightarrow \{\begin{cases} 4 m - 11 < 0 \\ m^{2} - 4 (4 m - 11) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 m - 11 < 0 \\ m^{2} < 4 (4 m - 11) < 0 (v o l y) \end{cases}$ $\Rightarrow$ Giả sử sai

Vậy trong 2 phương trình đã cho có ít nhất 1 phương trình có nghiệm (đpcm)

Câu 4:

b)

Một tấm biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm O, bán kính bằng 1,6m. Giả sử hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng 1,6m sao cho $∠ B O C = 45 °$ (như hình vẽ). Người ta cần sơn màu toàn bộ tấm biển quảng cáo và chỉ sơn một mặt như hình ở bên. Biết mức chi phí sơn phần hình tô đậm là 150 nghìn đồng $/ m^{2}$ và phần còn lại là 200 nghin đồng $/ m^{2}$ . Hỏi số tiền (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng) để sơn toàn bộ biển quảng cáo bằng bao nhiêu ? Cho $π = 3,14$

Xem đáp án

Diện tích hình tròn là $S = π R^{2} = {3,14.1,6}^{2} = 8,0384 (c m^{2})$

Gọi H là trung điểm của BBC

Vì ABCD là hình vuông nên $O A = O B = O C = O D \Rightarrow Δ O B C$ cân tại O $\Rightarrow O H ⊥ B C$ (đường trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác vuông)

Xét tam giác OBC có: $∠ O B C = ∠ O C B = \frac{180 ° - ∠ B O C}{2} = 67,5 °$

Xét tam giác vuông OHB có :

$\begin{array}{l} \sin ∠ O B C = \sin ∠ O B H = \frac{O H}{O B} \Rightarrow O H = O B . \sin ∠ O B H = 1,6. \sin 67,5 ° \\ \cos ∠ O B C = \cos ∠ O B H = \frac{B H}{O B} \Rightarrow B H = O B . \cos ∠ O B H = 1,6 \cos 67,5 ° \\ \Rightarrow B C = 3,2. \cos 67,5 ° \\ \Rightarrow S_{q O B C} = \frac{π R^{2} .45}{360} = \frac{{3,14.1,6}^{2}}{8} = 1,0048 (c m^{2}) \end{array}$

$\Rightarrow$ Diện tích phần hình tô đậm là $S_{2} = S - S_{1} \approx 7,839 (c m^{2})$

Vậy chi phí để sơn toàn bộ biển quảng cáo là :

$150 000 S_{2} + 200 000 S_{1} = 1215000$ (đồng)

Câu 5:

Cho ba điểm A, B, C cố định sao cho A, B,C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Gọi (d) là đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB. Lấy điểm M tùy ý trên (d) . Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AM cắt các đường thẳng AM, d lần lượt tại I, N. Đường thẳng MB cắt AN tại K

a) Chứng minh rằng tứ giác MIKN nội tiếp

Xem đáp án

Tam giác AMN có : $\{\begin{cases} A C ⊥ M N (g t) \\ I N ⊥ A M (g t) \\ A C \cap N I = \{B\} \end{cases} \Rightarrow B$ là trực tâm tam giác AMN

$\Rightarrow M K ⊥ A N$

Xét tứ giác MIKN có $∠ M I N = ∠ M K N = 90 °$

Suy ra tứ giác MIKN nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng 1 cạnh dưới các góc bằng nhau)

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)