Cho ba điểm A, B, C cố định sao cho A, B,C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Gọi (d) là đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB. Lấy điểm M tùy ý trên (d) . Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AM cắt các đường thẳng AM, d lần lượt tại I, N. Đường thẳng MB cắt AN tại K

a) Chứng minh rằng tứ giác MIKN nội tiếp

b) Chứng minh rằng $P\ge 0$

b) Cho a và b là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}$ cũng là số hữu tỉ

Một tấm biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm O, bán kính bằng 1,6m. Giả sử hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng 1,6m sao cho $\angle BOC=45°$(như hình vẽ). Người ta cần sơn màu toàn bộ tấm biển quảng cáo và chỉ sơn một mặt như hình ở bên. Biết mức chi phí sơn phần hình tô đậm là 150 nghìn đồng$/m^2$và phần còn lại là 200 nghin đồng$/m^2$. Hỏi số tiền (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng) để sơn toàn bộ biển quảng cáo bằng bao nhiêu ? Cho $\pi =\mathrm{3,14}$

a) Chứng minh rằng : với mọi giá trị của m ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: $x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+3=0;x^2-mx+4m-11=0$

c) Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Vẽ hình bình hành MBNE . Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BE .  Chứng minh rằng OH vuông góc với đường thẳng (d) và $OH=\frac{1}{2}AB$

a) Giải hệ phương trình sau :$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4x=57\\ {\left|x-1\right|}^{2021}+{\left|x-2\right|}^{2021}=1\end{array}\right.$