Cho ba điểm A, B, C cố định sao cho A, B,C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Gọi (d) là đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB. Lấy điểm M tùy ý trên (d) . Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AM cắt các đường thẳng AM, d lần lượt tại I, N. Đường thẳng MB cắt AN tại K

a) Chứng minh rằng tứ giác MIKN nội tiếp

b) Cho a và b là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}$ cũng là số hữu tỉ

b) Chứng minh rằng $P\ge 0$

Một tấm biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm O, bán kính bằng 1,6m. Giả sử hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng 1,6m sao cho $\angle BOC=45°$(như hình vẽ). Người ta cần sơn màu toàn bộ tấm biển quảng cáo và chỉ sơn một mặt như hình ở bên. Biết mức chi phí sơn phần hình tô đậm là 150 nghìn đồng$/m^2$và phần còn lại là 200 nghin đồng$/m^2$. Hỏi số tiền (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng) để sơn toàn bộ biển quảng cáo bằng bao nhiêu ? Cho $\pi =\mathrm{3,14}$

a) Chứng minh rằng : với mọi giá trị của m ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: $x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+3=0;x^2-mx+4m-11=0$

c) Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Vẽ hình bình hành MBNE . Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BE .  Chứng minh rằng OH vuông góc với đường thẳng (d) và $OH=\frac{1}{2}AB$