Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 22)

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 2 (x - 3) = y - 1 \\ 3 x + 4 y = 13 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y = 5 \\ 3 x + 4 y = 13 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 x - 4 y = 20 \\ 3 x + 4 y = 13 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 11 x = 33 \\ y = 2 x - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases} \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (3; 1)$

Câu 3/12

Cho biểu thức $A = \frac{1}{2 \sqrt{x} - 2} + \frac{1}{2 \sqrt{x} + 2} + \frac{1}{x - 1} (\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x \neq 1 \end{array})$

a) Rút gọn biểu thức A

Xem đáp án

Lời giải

a) Với $x \geq 0, x \neq 1$ ta có :

$\begin{array}{l} A = \frac{1}{2 \sqrt{x} - 2} + \frac{1}{2 \sqrt{x} + 2} + \frac{1}{x - 1} (\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x \neq 1 \end{array}) \\ = \frac{\sqrt{x} + 1 + \sqrt{x} - 1 + 2}{2 (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{2 \sqrt{x} + 2}{2 (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{2 (\sqrt{x} + 1)}{2 (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \end{array}$

Vậy với $x \geq 0, x \neq 1$ thì $A = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

Câu 4/12

b) Tìm các số nguyên x để A đạt giá trị nguyên

Xem đáp án

Lời giải

b) Để $A \in ℤ$ thì $\frac{1}{\sqrt{x} - 1} \in ℤ$ mà $x \in ℤ$ nên $\sqrt{x} - 1 \in U (1) = \{- 1; 1\}$

$\begin{array}{l} t h 1 : \sqrt{x} - 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 2 \Leftrightarrow x = 4 (t m) \\ t h 2 : \sqrt{x} - 1 = - 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Leftrightarrow x = 0 (t m) \end{array}$

Vậy để $A \in ℤ$ thì $x \in \{0; 4\}$

Câu 5/12

Một mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu có diện tích bằng $680 m^{2}$ , nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích mảnh vườn không thay đổi. Tính chu vi mảnh vườn ban đầu.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là $x, y (m) [D K : x, y > 0]$

Vì diện tích mảnh vườn là $680 m^{2}$ nên ta có phương trình xy = 680 (1)

Khi tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích chiều dài mới của mảnh vườn là x + 6 (m) và chiều rộng mới của mảnh vườn y - 3(m)

Vì diện tích mảnh vườn lúc sau không đổi nên ta có phương trình :

$(x + 6) (y - 3) = 680 (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : $\{\begin{cases} x y = 680 \\ (x + 6) (y - 3) = 680 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x y = 680 \\ x y - 3 x + 6 y - 18 = 680 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x y = 680 \\ 680 - 3 x + 6 y - 18 = 680 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x y = 680 \\ 3 x - 6 y + 18 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x y = 680 \\ x - 2 y = - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x y = 680 \\ x = 2 y - 6 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} (2 y - 6) y = 680 \\ x = 2 y - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 y^{2} - 6 y - 680 = 0 (1) \\ x = 2 y - 6 (2) \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} (1) \Leftrightarrow y^{2} - 3 y - 340 = 0 \\ Δ = {(- 3)}^{2} + 4.340 = 1369 = 37^{2} > 0 \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} y_{1} = \frac{3 + 37}{2} = 20 \Rightarrow x = 2.20 - 6 = 34 (t m) \\ y_{2} = \frac{3 - 37}{2} = - 17 (k t m) \end{array} \end{array}$

Vậy chiều dài và chiều rộng ban đầu là $34 m,20 m$ nên chu vi là $(20 + 34) .2 = 108 m$

Câu 6/12

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình $y = x^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình $y = 2 (m - 1) x + m^{2} + 2 m (m$ là tham số)

a) Tìm tọa độ các điểm thuộc parabol (P) có tung độ bằng 9

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có các điểm thuộc parabol (P) có tung độ bằng 9 thỏa mãn :

$x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$

Vậy các điểm cần tìm là M(3;9) và N(-3;9)

Câu 7/12