Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 22)

1. Ta có $\Delta =7^2-4.10=9=3^2>0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

$\left[\begin{array}{l}{x}_1=\frac{-7+3}{2}=-2\\ x_2=\frac{-7-3}{2}=-5\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left\{-5;-2\right\}$

2. Ta có :

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}2\left(x-3\right)=y-1\\ 3x+4y=13\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ 3x+4y=13\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}8x-4y=20\\ 3x+4y=13\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}11x=33\\ y=2x-5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right.\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(3;1\right)$

a) Với $x\ge \mathrm{0,}x\ne 1$ ta có :

$\begin{array}{l}A=\frac{1}{2\sqrt{x}-2}+\frac{1}{2\sqrt{x}+2}+\frac{1}{x-1}\left(\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\ne 1\end{array}\right)\\ =\frac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}-1+2}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}+2}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2\left(\sqrt{x}+1\right)}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\end{array}$

Vậy với $x\ge \mathrm{0,}x\ne 1$thì $A=\frac{1}{\sqrt{x}-1}$

b) Để $A\in \mathbb{Z}$ thì $\frac{1}{\sqrt{x}-1}\in \mathbb{Z}$ mà $x\in \mathbb{Z}$ nên $\sqrt{x}-1\in U\left(1\right)=\left\{-1;1\right\}$

$\begin{array}{l}th1:\sqrt{x}-1=1\iff \sqrt{x}=2\iff x=4\left(tm\right)\\ th2:\sqrt{x}-1=-1\Rightarrow \sqrt{x}=0\iff x=0\left(tm\right)\end{array}$

Vậy để $A\in \mathbb{Z}$thì $x\in \left\{0;4\right\}$

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là $x,y\left(m\right)\left[DK:x,y>0\right]$

Vì diện tích mảnh vườn là $680m^2$ nên ta có phương trình xy = 680 (1)

Khi tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích chiều dài mới của mảnh vườn là x + 6 (m) và chiều rộng mới của mảnh vườn y - 3(m)

Vì diện tích mảnh vườn lúc sau không đổi nên ta có phương trình :

$\left(x+6\right)\left(y-3\right)=680\left(2\right)$

Từ (1) và (2)  ta có hệ phương trình : $\left\{\begin{array}{l}xy=680\\ \left(x+6\right)\left(y-3\right)=680\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}xy=680\\ xy-3x+6y-18=680\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}xy=680\\ 680-3x+6y-18=680\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}xy=680\\ 3x-6y+18=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}xy=680\\ x-2y=-6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}xy=680\\ x=2y-6\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left(2y-6\right)y=680\\ x=2y-6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2y^2-6y-680=0\left(1\right)\\ x=2y-6\left(2\right)\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(1\right)\iff y^2-3y-340=0\\ \Delta ={\left(-3\right)}^2+4.340=1369={37}^2>0\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}{y}_1=\frac{3+37}{2}=20\Rightarrow x=2.20-6=34\left(tm\right)\\ y_2=\frac{3-37}{2}=-17\left(ktm\right)\end{array}\right.\end{array}$

Vậy chiều dài và chiều rộng ban đầu là $34m\mathrm{,20}m$nên chu vi là $\left(20+34\right).2=108m$