1. Giải phương trình :$x^2+7x+10=0$

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta có :

$x^2-2\left(m-1\right)x-m^2-2m=0$

Ta có : $\Delta \text{'}={\left(m-1\right)}^2-\left(-m^2-2m\right)=m^2-2m+1+m^2+2m=2m^2+1>0$(với mọi m)

Do đó đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

Ta gọi hai điểm phân biệt đó là $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$

Mà $A,B\in \left(P\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1^2\\ y_2=x_2^2\end{array}\right.$ . Theo hệ thức Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-2\\ x_1{x}_2=-m^2-2m\end{array}\right.$

Khi đó ta có :$y_1+y_2=4$

$\begin{array}{l}\iff x_1^2+x_2^2=4\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=4\\ \iff 4{\left(m-1\right)}^2-2\left(-m^2-2m\right)=4\\ \iff 4m^2-8m+4+2m^2+4m-4=0\\ \iff 6m^2-4m=0\iff 3m^2-2m=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=\frac{2}{3}\end{array}\right.\end{array}$

Vậy tập giá trị của m thỏa mãn là $\left\{0;\frac{2}{3}\right\}$

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là $x,y\left(m\right)\left[DK:x,y>0\right]$

Vì diện tích mảnh vườn là $680m^2$ nên ta có phương trình xy = 680 (1)

Khi tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích chiều dài mới của mảnh vườn là x + 6 (m) và chiều rộng mới của mảnh vườn y - 3(m)

Vì diện tích mảnh vườn lúc sau không đổi nên ta có phương trình :

$\left(x+6\right)\left(y-3\right)=680\left(2\right)$

Từ (1) và (2)  ta có hệ phương trình : $\left\{\begin{array}{l}xy=680\\ \left(x+6\right)\left(y-3\right)=680\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}xy=680\\ xy-3x+6y-18=680\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}xy=680\\ 680-3x+6y-18=680\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}xy=680\\ 3x-6y+18=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}xy=680\\ x-2y=-6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}xy=680\\ x=2y-6\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left(2y-6\right)y=680\\ x=2y-6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2y^2-6y-680=0\left(1\right)\\ x=2y-6\left(2\right)\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(1\right)\iff y^2-3y-340=0\\ \Delta ={\left(-3\right)}^2+4.340=1369={37}^2>0\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}{y}_1=\frac{3+37}{2}=20\Rightarrow x=2.20-6=34\left(tm\right)\\ y_2=\frac{3-37}{2}=-17\left(ktm\right)\end{array}\right.\end{array}$

Vậy chiều dài và chiều rộng ban đầu là $34m\mathrm{,20}m$nên chu vi là $\left(20+34\right).2=108m$