Cho a,b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh rằng : 3a+bca+3a+bc+3b+acb+3b+ac+3c+abc+3c+ab≥2

Ta có điểm rơi của bài toán là a = b = c = 1 BDT⇔1a3a+bc+1+1b3b+ca+1+1c3c+ab+1≥2 Áp dụng BDT:1X+1Y+1Z≥9X+Y+Z . Dấu bằng xảy ra khi X=Y=Z , ta có : 1a3a+bc+1+1b3b+ca+1+1c3c+ab+1≥9a3a+bc+b3b+ca+c3c+ab+3 Bây giờ bài toán trở về dạng quen thuộc, khi ta chỉ cần chứng minh a3a+bc+b3b+ca+c3c+ab≤32 Chú ý rằng 3a+bc=a+b+ca+bc=a2+ab+bc+ca=a+ba+c ⇒a3a+bc=a1a+b.1a+c≤AM−GMa21a+b+1a+c=12aa+b+ac+a Tương tự : b3b+ca≤12bb+c+ba+b; c3c+ab≤12cc+a+cb+c Cộng vế theo vế : a3a+bc+b3b+ca+c3c+ab≤12a+ba+b+b+cb+c+c+ac+a=32(dfcm)

Câu hỏi:

12/07/2024 1,300

Cho a,b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh rằng : $\frac{\sqrt{3 a + b c}}{a + \sqrt{3 a + b c}} + \frac{\sqrt{3 b + a c}}{b + \sqrt{3 b + a c}} + \frac{\sqrt{3 c + a b}}{c + \sqrt{3 c + a b}} \geq 2$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có điểm rơi của bài toán là a = b = c = 1

$B D T \Leftrightarrow \frac{1}{\frac{a}{\sqrt{3 a + b c}} + 1} + \frac{1}{\frac{b}{\sqrt{3 b + c a}} + 1} + \frac{1}{\frac{c}{\sqrt{3 c + a b}} + 1} \geq 2$

Áp dụng $B D T : \frac{1}{X} + \frac{1}{Y} + \frac{1}{Z} \geq \frac{9}{X + Y + Z}$ . Dấu bằng xảy ra khi $X = Y = Z$ , ta có :

$\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{3 a + b c}} + 1} + \frac{1}{\frac{b}{\sqrt{3 b + c a}} + 1} + \frac{1}{\frac{c}{\sqrt{3 c + a b}} + 1} \geq \frac{9}{\frac{a}{\sqrt{3 a + b c}} + \frac{b}{\sqrt{3 b + c a}} + \frac{c}{\sqrt{3 c + a b}} + 3}$

Bây giờ bài toán trở về dạng quen thuộc, khi ta chỉ cần chứng minh

$\frac{a}{\sqrt{3 a + b c}} + \frac{b}{\sqrt{3 b + c a}} + \frac{c}{\sqrt{3 c + a b}} \leq \frac{3}{2}$

Chú ý rằng $3 a + b c = (a + b + c) a + b c = a^{2} + a b + b c + c a = (a + b) (a + c)$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{3 a + b c}} = a \sqrt{\frac{1}{a + b} . \frac{1}{a + c}} \overset{A M - G M}{\leq} \frac{a}{2} (\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c}) = \frac{1}{2} (\frac{a}{a + b} + \frac{a}{c + a})$

Tương tự : $\frac{b}{\sqrt{3 b + c a}} \leq \frac{1}{2} (\frac{b}{b + c} + \frac{b}{a + b}); \frac{c}{\sqrt{3 c + a b}} \leq \frac{1}{2} (\frac{c}{c + a} + \frac{c}{b + c})$

Cộng vế theo vế :

$\frac{a}{\sqrt{3 a + b c}} + \frac{b}{\sqrt{3 b + c a}} + \frac{c}{\sqrt{3 c + a b}} \leq \frac{1}{2} (\frac{a + b}{a + b} + \frac{b + c}{b + c} + \frac{c + a}{c + a}) = \frac{3}{2} (d f c m)$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Sách - 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (Sách dành cho ôn thi THPT Quốc gia 2025) VietJack

130000 38500 (Đã bán 189)

Sách - 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Dành cho ôn thi THPT 2025) VietJack

110000 38500 (Đã bán 187)

Sách - 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 Vietjack theo chương trình mới cho 2k7

130000 28000 (Đã bán 1,3k)

Sách - Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (Mới nhất cho 2k7) - VietJack

140000 36000 (Đã bán 986)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

b) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi $y_{1}, y_{2}$ lần lượt là tung độ của hai điểm A,B. Tìm tất cả các giá trị của m để $y_{1} + y_{2} = 4$

Xem đáp án » 12/07/2024 5,876

Câu 2:

1. Giải phương trình : $x^{2} + 7 x + 10 = 0$

Xem đáp án » 12/07/2024 4,010

Câu 3:

Một mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu có diện tích bằng $680 m^{2}$ , nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích mảnh vườn không thay đổi. Tính chu vi mảnh vườn ban đầu.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,902

Câu 4:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm $E, F (E \neq B, F \neq C)$ . Gọi H là giao điểm của BF và CE

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp

Xem đáp án » 12/07/2024 2,754

Câu 5:

d) Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AM, AN của đường tròn (O) ( M,N là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,676

Câu 6:

c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AH. Chứng minh $∠ E B F = ∠ E F K$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,329

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

Cho a,b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh rằng : $\frac{\sqrt{3 a + b c}}{a + \sqrt{3 a + b c}} + \frac{\sqrt{3 b + a c}}{b + \sqrt{3 b + a c}} + \frac{\sqrt{3 c + a b}}{c + \sqrt{3 c + a b}} \geq 2$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

b) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi $y_{1}, y_{2}$ lần lượt là tung độ của hai điểm A,B. Tìm tất cả các giá trị của m để $y_{1} + y_{2} = 4$

1. Giải phương trình : $x^{2} + 7 x + 10 = 0$

Một mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu có diện tích bằng $680 m^{2}$ , nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích mảnh vườn không thay đổi. Tính chu vi mảnh vườn ban đầu.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm $E, F (E \neq B, F \neq C)$ . Gọi H là giao điểm của BF và CE

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp

d) Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AM, AN của đường tròn (O) ( M,N là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AH. Chứng minh $∠ E B F = ∠ E F K$

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho a,b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh rằng : 3a+bca+3a+bc+3b+acb+3b+ac+3c+abc+3c+ab≥2

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

b) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y1,y2 lần lượt là tung độ của hai điểm A,B. Tìm tất cả các giá trị của m để y1+y2=4

1. Giải phương trình :x2+7x+10=0

Một mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu có diện tích bằng 680m2, nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích mảnh vườn không thay đổi. Tính chu vi mảnh vườn ban đầu.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm E,FE≠B,F≠C. Gọi H là giao điểm của BF và CE a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp

d) Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AM, AN của đường tròn (O) ( M,N là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AH. Chứng minh ∠EBF=∠EFK

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a,b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh rằng : $\frac{\sqrt{3 a + b c}}{a + \sqrt{3 a + b c}} + \frac{\sqrt{3 b + a c}}{b + \sqrt{3 b + a c}} + \frac{\sqrt{3 c + a b}}{c + \sqrt{3 c + a b}} \geq 2$

b) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi $y_{1}, y_{2}$ lần lượt là tung độ của hai điểm A,B. Tìm tất cả các giá trị của m để $y_{1} + y_{2} = 4$

1. Giải phương trình : $x^{2} + 7 x + 10 = 0$

Một mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu có diện tích bằng $680 m^{2}$ , nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích mảnh vườn không thay đổi. Tính chu vi mảnh vườn ban đầu.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm $E, F (E \neq B, F \neq C)$ . Gọi H là giao điểm của BF và CE

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp

c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AH. Chứng minh $∠ E B F = ∠ E F K$