Cho a,b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh rằng : 3a+bca+3a+bc+3b+acb+3b+ac+3c+abc+3c+ab≥2

Ta có điểm rơi của bài toán là a = b = c = 1 BDT⇔1a3a+bc+1+1b3b+ca+1+1c3c+ab+1≥2 Áp dụng BDT:1X+1Y+1Z≥9X+Y+Z . Dấu bằng xảy ra khi X=Y=Z , ta có : 1a3a+bc+1+1b3b+ca+1+1c3c+ab+1≥9a3a+bc+b3b+ca+c3c+ab+3 Bây giờ bài toán trở về dạng quen thuộc, khi ta chỉ cần chứng minh a3a+bc+b3b+ca+c3c+ab≤32 Chú ý rằng 3a+bc=a+b+ca+bc=a2+ab+bc+ca=a+ba+c ⇒a3a+bc=a1a+b.1a+c≤AM−GMa21a+b+1a+c=12aa+b+ac+a Tương tự : b3b+ca≤12bb+c+ba+b; c3c+ab≤12cc+a+cb+c Cộng vế theo vế : a3a+bc+b3b+ca+c3c+ab≤12a+ba+b+b+cb+c+c+ac+a=32(dfcm)

Câu hỏi:

12/07/2024 1,012

Cho a,b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh rằng : $\frac{\sqrt{3 a + b c}}{a + \sqrt{3 a + b c}} + \frac{\sqrt{3 b + a c}}{b + \sqrt{3 b + a c}} + \frac{\sqrt{3 c + a b}}{c + \sqrt{3 c + a b}} \geq 2$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có điểm rơi của bài toán là a = b = c = 1

$B D T \Leftrightarrow \frac{1}{\frac{a}{\sqrt{3 a + b c}} + 1} + \frac{1}{\frac{b}{\sqrt{3 b + c a}} + 1} + \frac{1}{\frac{c}{\sqrt{3 c + a b}} + 1} \geq 2$

Áp dụng $B D T : \frac{1}{X} + \frac{1}{Y} + \frac{1}{Z} \geq \frac{9}{X + Y + Z}$ . Dấu bằng xảy ra khi $X = Y = Z$ , ta có :

$\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{3 a + b c}} + 1} + \frac{1}{\frac{b}{\sqrt{3 b + c a}} + 1} + \frac{1}{\frac{c}{\sqrt{3 c + a b}} + 1} \geq \frac{9}{\frac{a}{\sqrt{3 a + b c}} + \frac{b}{\sqrt{3 b + c a}} + \frac{c}{\sqrt{3 c + a b}} + 3}$

Bây giờ bài toán trở về dạng quen thuộc, khi ta chỉ cần chứng minh

$\frac{a}{\sqrt{3 a + b c}} + \frac{b}{\sqrt{3 b + c a}} + \frac{c}{\sqrt{3 c + a b}} \leq \frac{3}{2}$

Chú ý rằng $3 a + b c = (a + b + c) a + b c = a^{2} + a b + b c + c a = (a + b) (a + c)$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{3 a + b c}} = a \sqrt{\frac{1}{a + b} . \frac{1}{a + c}} \overset{A M - G M}{\leq} \frac{a}{2} (\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c}) = \frac{1}{2} (\frac{a}{a + b} + \frac{a}{c + a})$

Tương tự : $\frac{b}{\sqrt{3 b + c a}} \leq \frac{1}{2} (\frac{b}{b + c} + \frac{b}{a + b}); \frac{c}{\sqrt{3 c + a b}} \leq \frac{1}{2} (\frac{c}{c + a} + \frac{c}{b + c})$

Cộng vế theo vế :

$\frac{a}{\sqrt{3 a + b c}} + \frac{b}{\sqrt{3 b + c a}} + \frac{c}{\sqrt{3 c + a b}} \leq \frac{1}{2} (\frac{a + b}{a + b} + \frac{b + c}{b + c} + \frac{c + a}{c + a}) = \frac{3}{2} (d f c m)$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

b) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi $y_{1}, y_{2}$ lần lượt là tung độ của hai điểm A,B. Tìm tất cả các giá trị của m để $y_{1} + y_{2} = 4$

Xem đáp án » 12/07/2024 4,967

Câu 2:

Một mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu có diện tích bằng $680 m^{2}$ , nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích mảnh vườn không thay đổi. Tính chu vi mảnh vườn ban đầu.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,411

Câu 3:

1. Giải phương trình : $x^{2} + 7 x + 10 = 0$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,149

Câu 4:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm $E, F (E \neq B, F \neq C)$ . Gọi H là giao điểm của BF và CE

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp

Xem đáp án » 12/07/2024 2,015

Câu 5:

c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AH. Chứng minh $∠ E B F = ∠ E F K$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,154

Câu 6:

d) Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AM, AN của đường tròn (O) ( M,N là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,088

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

23 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn thức bậc hai có đáp án

2 đề 45,603 lượt thi Thi thử
21 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai có đáp án

2 đề 13,250 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 12,650 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất)

41 đề 11,886 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 11,026 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 10,479 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 15 phút Toán 9 Chương 1 Đại Số (có đáp án)

7 đề 9,451 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có đáp án

10 đề 9,164 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 1 Toán 9 có đáp án năm 2022-2023

31 đề 8,773 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

17 đề 8,570 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài tập

Cho a,b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh rằng : 3a+bca+3a+bc+3b+acb+3b+ac+3c+abc+3c+ab≥2

Nhà sách VIETJACK:

b) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y1,y2 lần lượt là tung độ của hai điểm A,B. Tìm tất cả các giá trị của m để y1+y2=4

Một mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu có diện tích bằng 680m2, nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích mảnh vườn không thay đổi. Tính chu vi mảnh vườn ban đầu.

1. Giải phương trình :x2+7x+10=0

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm E,FE≠B,F≠C. Gọi H là giao điểm của BF và CE a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp

c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AH. Chứng minh ∠EBF=∠EFK

d) Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AM, AN của đường tròn (O) ( M,N là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

Bình luận

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a,b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh rằng : $\frac{\sqrt{3 a + b c}}{a + \sqrt{3 a + b c}} + \frac{\sqrt{3 b + a c}}{b + \sqrt{3 b + a c}} + \frac{\sqrt{3 c + a b}}{c + \sqrt{3 c + a b}} \geq 2$

b) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi $y_{1}, y_{2}$ lần lượt là tung độ của hai điểm A,B. Tìm tất cả các giá trị của m để $y_{1} + y_{2} = 4$

Một mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu có diện tích bằng $680 m^{2}$ , nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích mảnh vườn không thay đổi. Tính chu vi mảnh vườn ban đầu.

1. Giải phương trình : $x^{2} + 7 x + 10 = 0$

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm $E, F (E \neq B, F \neq C)$ . Gọi H là giao điểm của BF và CE

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp

c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AH. Chứng minh $∠ E B F = ∠ E F K$