Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình $y=x^2$ và đường thẳng (d) có phương trình $y=2\left(m-1\right)x+m^2+2m\left(m\right.$ là tham số)

a) Tìm tọa độ các điểm thuộc parabol (P) có tung độ bằng 9

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta có :

$x^2-2\left(m-1\right)x-m^2-2m=0$

Ta có : $\Delta \text{'}={\left(m-1\right)}^2-\left(-m^2-2m\right)=m^2-2m+1+m^2+2m=2m^2+1>0$(với mọi m)

Do đó đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

Ta gọi hai điểm phân biệt đó là $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$

Mà $A,B\in \left(P\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1^2\\ y_2=x_2^2\end{array}\right.$ . Theo hệ thức Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-2\\ x_1{x}_2=-m^2-2m\end{array}\right.$

Khi đó ta có :$y_1+y_2=4$

$\begin{array}{l}\iff x_1^2+x_2^2=4\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=4\\ \iff 4{\left(m-1\right)}^2-2\left(-m^2-2m\right)=4\\ \iff 4m^2-8m+4+2m^2+4m-4=0\\ \iff 6m^2-4m=0\iff 3m^2-2m=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=\frac{2}{3}\end{array}\right.\end{array}$

Vậy tập giá trị của m thỏa mãn là $\left\{0;\frac{2}{3}\right\}$

1. Ta có $\Delta =7^2-4.10=9=3^2>0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

$\left[\begin{array}{l}{x}_1=\frac{-7+3}{2}=-2\\ x_2=\frac{-7-3}{2}=-5\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left\{-5;-2\right\}$