Cho a,b là hai số dương phân biệt thỏa mãn ab=a+ba−b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=ab+a−bab

ab=a+ba−b⇒aba−b=a+bvà a−b>0 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có : P=ab+a−bab≥2ab.a−bab=2ab.a−b=2a+b Lại có: a+b2=a−b2+4ab≥2a−b2.4ab=22aba−b2=4aba−b=4a+b ⇒a+b≥4 (chia hai vế cho a+b)⇒P≥24=4. Vậy Pmin=4⇔ab=a+ba−bab=a−baba+b=4⇔ab=a−b2a+ba+b=4⇔ab=a+b2−4aba+ba+b=4 ⇔ab=a+b−4aba+ba+b=4⇔ab=4−4ab4a+b=4⇔ab=2a+b=4 ⇔a,b là nghiệm của phương trình : x2−4x+2=0⇔x1=2+2x2=2−2⇔a=2+2b=2−2a=2−2b=2+2(ktm do a>b)⇔a=2+2b=2−2

Câu hỏi:

12/07/2024 1,635

Cho a,b là hai số dương phân biệt thỏa mãn $\sqrt{a b} = \frac{a + b}{a - b}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a b + \frac{a - b}{\sqrt{a b}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$\sqrt{a b} = \frac{a + b}{a - b} \Rightarrow \sqrt{a b} (a - b) = a + b$ và $a - b > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có :

$P = a b + \frac{a - b}{\sqrt{a b}} \geq 2 \sqrt{a b . \frac{a - b}{\sqrt{a b}}} = 2 \sqrt{\sqrt{a b} . (a - b)} = 2 \sqrt{a + b}$

Lại có:

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b \geq 2 \sqrt{{(a - b)}^{2} .4 a b} = 2 \sqrt{{[2 \sqrt{a b} (a - b)]}^{2}} \\ = 4 \sqrt{a b} (a - b) = 4 (a + b) \end{array}$

$\Rightarrow a + b \geq 4$ (chia hai vế cho $a + b) \Rightarrow P \geq 2 \sqrt{4} = 4$ . Vậy

$P_{\min} = 4 \Leftrightarrow \{\begin{cases} \sqrt{a b} = \frac{a + b}{a - b} \\ a b = \frac{a - b}{\sqrt{a b}} \\ a + b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = \frac{{(a - b)}^{2}}{a + b} \\ a + b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = \frac{{(a + b)}^{2} - 4 a b}{a + b} \\ a + b = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = a + b - \frac{4 a b}{a + b} \\ a + b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = 4 - \frac{4 a b}{4} \\ a + b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = 2 \\ a + b = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow a, b$ là nghiệm của phương trình :

x^{2} - 4 x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 2 + \sqrt{2} \\ x_{2} = 2 - \sqrt{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = 2 + \sqrt{2} \\ b = 2 - \sqrt{2} \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = 2 - \sqrt{2} \\ b = 2 + \sqrt{2} (k t m d o a > b) \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 + \sqrt{2} \\ b = 2 - \sqrt{2} \end{cases}

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giải các phương trình sau : $a) x^{2} - 6 x = 0$

Xem đáp án » 13/07/2024 7,828

Câu 2:

Hai người thợ cùng làm 1 công việc, nếu họ cùng làm trong 4 ngày thì xong công việc đó. Hai người làm cùng nhau trong 2 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm một mình trong 6 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ? (giả thiết năng suất làm việc của mỗi người trong các ngày là không đổi).

Xem đáp án » 11/07/2024 4,617

Câu 3:

Cho đường thẳng có phương trình y = ax + b, tìm a và b để đường thẳng đi qua hai điểm M(-1,4) và N(2,19)

Xem đáp án » 11/07/2024 3,055

Câu 4:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình $y = (m + 2) x - 2 m - 3 (m$ là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng đã cho là lớn nhất.

Xem đáp án » 11/07/2024 1,494

Câu 5:

Cho đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM,AN với đường tròn (M,N là các tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AO chứa điểm M vẽ đường thẳng đi qua A và cắt đường tròn tại hai điểm P,Q sao cho $A P > A Q . P Q$ không đi qua O. Gọi H là trung điểm của PQ ,E là giao điểm của AO và MN

a) Chứng minh rằng : tứ giác AHON là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án » 09/09/2022 1,247

Câu 6:

Rút gọn các biểu thức sau : $b) B = \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}} - \sqrt{5}$

Xem đáp án » 13/07/2024 708

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP