Cho a,b là hai số dương phân biệt thỏa mãn ab=a+ba−b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=ab+a−bab

ab=a+ba−b⇒aba−b=a+bvà a−b>0 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có : P=ab+a−bab≥2ab.a−bab=2ab.a−b=2a+b Lại có: a+b2=a−b2+4ab≥2a−b2.4ab=22aba−b2=4aba−b=4a+b ⇒a+b≥4 (chia hai vế cho a+b)⇒P≥24=4. Vậy Pmin=4⇔ab=a+ba−bab=a−baba+b=4⇔ab=a−b2a+ba+b=4⇔ab=a+b2−4aba+ba+b=4 ⇔ab=a+b−4aba+ba+b=4⇔ab=4−4ab4a+b=4⇔ab=2a+b=4 ⇔a,b là nghiệm của phương trình : x2−4x+2=0⇔x1=2+2x2=2−2⇔a=2+2b=2−2a=2−2b=2+2(ktm do a>b)⇔a=2+2b=2−2

Câu hỏi:

19/08/2025 2,594

Cho a,b là hai số dương phân biệt thỏa mãn $\sqrt{a b} = \frac{a + b}{a - b}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a b + \frac{a - b}{\sqrt{a b}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$\sqrt{a b} = \frac{a + b}{a - b} \Rightarrow \sqrt{a b} (a - b) = a + b$ và $a - b > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có :

$P = a b + \frac{a - b}{\sqrt{a b}} \geq 2 \sqrt{a b . \frac{a - b}{\sqrt{a b}}} = 2 \sqrt{\sqrt{a b} . (a - b)} = 2 \sqrt{a + b}$

Lại có:

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b \geq 2 \sqrt{{(a - b)}^{2} .4 a b} = 2 \sqrt{{[2 \sqrt{a b} (a - b)]}^{2}} \\ = 4 \sqrt{a b} (a - b) = 4 (a + b) \end{array}$

$\Rightarrow a + b \geq 4$ (chia hai vế cho $a + b) \Rightarrow P \geq 2 \sqrt{4} = 4$ . Vậy

$P_{\min} = 4 \Leftrightarrow \{\begin{cases} \sqrt{a b} = \frac{a + b}{a - b} \\ a b = \frac{a - b}{\sqrt{a b}} \\ a + b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = \frac{{(a - b)}^{2}}{a + b} \\ a + b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = \frac{{(a + b)}^{2} - 4 a b}{a + b} \\ a + b = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = a + b - \frac{4 a b}{a + b} \\ a + b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = 4 - \frac{4 a b}{4} \\ a + b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = 2 \\ a + b = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow a, b$ là nghiệm của phương trình :

x^{2} - 4 x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 2 + \sqrt{2} \\ x_{2} = 2 - \sqrt{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = 2 + \sqrt{2} \\ b = 2 - \sqrt{2} \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = 2 - \sqrt{2} \\ b = 2 + \sqrt{2} (k t m d o a > b) \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 + \sqrt{2} \\ b = 2 - \sqrt{2} \end{cases}

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải các phương trình sau : $a) x^{2} - 6 x = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$a) x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow x (x - 6) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x - 6 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 6 \end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{0; 6\}$

Câu 2

Hai người thợ cùng làm 1 công việc, nếu họ cùng làm trong 4 ngày thì xong công việc đó. Hai người làm cùng nhau trong 2 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm một mình trong 6 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ? (giả thiết năng suất làm việc của mỗi người trong các ngày là không đổi).

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số ngày mà người thứ nhất, người thứ hai làm một mình thì hoàn thành công việc lần lượt là x, y (ngày) $(x, y \in ℕ *)$

$\Rightarrow$ Trong một ngày, người thứ nhất, người thứ hai làm được lần lượt $\frac{1}{x}; \frac{1}{y}$ (công việc)

Họ cùng làm trong 4 ngày thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình : $4 (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1 (1)$

Sau khi làm chung 2 ngày, người thứ hai phải làm tiếp 6 ngày nữa thì mới xong công việc nên ta có phương trình $2 (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + \frac{6}{y} = 1 (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

$\{\begin{cases} 4 (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1 \\ 2 (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + \frac{6}{y} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ \frac{2}{x} + \frac{8}{y} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{x} = \frac{1}{6} \\ \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 6 (t m) \\ y = 12 (t m) \end{cases}$

Vậy mỗi người làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 6 ngày và người thứ hai trong 12 ngày

Câu 3

Cho đường thẳng có phương trình y = ax + b, tìm a và b để đường thẳng đi qua hai điểm M(-1,4) và N(2,19)

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình $y = (m + 2) x - 2 m - 3 (m$ là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng đã cho là lớn nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM,AN với đường tròn (M,N là các tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AO chứa điểm M vẽ đường thẳng đi qua A và cắt đường tròn tại hai điểm P,Q sao cho $A P > A Q . P Q$ không đi qua O. Gọi H là trung điểm của PQ ,E là giao điểm của AO và MN

a) Chứng minh rằng : tứ giác AHON là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Rút gọn các biểu thức sau : $b) B = \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}} - \sqrt{5}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho a,b là hai số dương phân biệt thỏa mãn $\sqrt{a b} = \frac{a + b}{a - b}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a b + \frac{a - b}{\sqrt{a b}}$

Giải các phương trình sau : $a) x^{2} - 6 x = 0$

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình $y = (m + 2) x - 2 m - 3 (m$ là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng đã cho là lớn nhất.

Rút gọn các biểu thức sau : $b) B = \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}} - \sqrt{5}$