Cho a,b là hai số dương phân biệt thỏa mãn ab=a+ba−b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=ab+a−bab

ab=a+ba−b⇒aba−b=a+bvà a−b>0 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có : P=ab+a−bab≥2ab.a−bab=2ab.a−b=2a+b Lại có: a+b2=a−b2+4ab≥2a−b2.4ab=22aba−b2=4aba−b=4a+b ⇒a+b≥4 (chia hai vế cho a+b)⇒P≥24=4. Vậy Pmin=4⇔ab=a+ba−bab=a−baba+b=4⇔ab=a−b2a+ba+b=4⇔ab=a+b2−4aba+ba+b=4 ⇔ab=a+b−4aba+ba+b=4⇔ab=4−4ab4a+b=4⇔ab=2a+b=4 ⇔a,b là nghiệm của phương trình : x2−4x+2=0⇔x1=2+2x2=2−2⇔a=2+2b=2−2a=2−2b=2+2(ktm do a>b)⇔a=2+2b=2−2

Câu hỏi:

12/07/2024 1,407

Cho a,b là hai số dương phân biệt thỏa mãn $\sqrt{a b} = \frac{a + b}{a - b}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a b + \frac{a - b}{\sqrt{a b}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$\sqrt{a b} = \frac{a + b}{a - b} \Rightarrow \sqrt{a b} (a - b) = a + b$ và $a - b > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có :

$P = a b + \frac{a - b}{\sqrt{a b}} \geq 2 \sqrt{a b . \frac{a - b}{\sqrt{a b}}} = 2 \sqrt{\sqrt{a b} . (a - b)} = 2 \sqrt{a + b}$

Lại có:

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b \geq 2 \sqrt{{(a - b)}^{2} .4 a b} = 2 \sqrt{{[2 \sqrt{a b} (a - b)]}^{2}} \\ = 4 \sqrt{a b} (a - b) = 4 (a + b) \end{array}$

$\Rightarrow a + b \geq 4$ (chia hai vế cho $a + b) \Rightarrow P \geq 2 \sqrt{4} = 4$ . Vậy

$P_{\min} = 4 \Leftrightarrow \{\begin{cases} \sqrt{a b} = \frac{a + b}{a - b} \\ a b = \frac{a - b}{\sqrt{a b}} \\ a + b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = \frac{{(a - b)}^{2}}{a + b} \\ a + b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = \frac{{(a + b)}^{2} - 4 a b}{a + b} \\ a + b = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = a + b - \frac{4 a b}{a + b} \\ a + b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = 4 - \frac{4 a b}{4} \\ a + b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = 2 \\ a + b = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow a, b$ là nghiệm của phương trình :

x^{2} - 4 x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 2 + \sqrt{2} \\ x_{2} = 2 - \sqrt{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = 2 + \sqrt{2} \\ b = 2 - \sqrt{2} \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = 2 - \sqrt{2} \\ b = 2 + \sqrt{2} (k t m d o a > b) \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 + \sqrt{2} \\ b = 2 - \sqrt{2} \end{cases}

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Hai người thợ cùng làm 1 công việc, nếu họ cùng làm trong 4 ngày thì xong công việc đó. Hai người làm cùng nhau trong 2 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm một mình trong 6 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ? (giả thiết năng suất làm việc của mỗi người trong các ngày là không đổi).

Xem đáp án » 11/07/2024 3,644

Câu 2:

Giải các phương trình sau : $a) x^{2} - 6 x = 0$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,898

Câu 3:

Cho đường thẳng có phương trình y = ax + b, tìm a và b để đường thẳng đi qua hai điểm M(-1,4) và N(2,19)

Xem đáp án » 11/07/2024 2,438

Câu 4:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình $y = (m + 2) x - 2 m - 3 (m$ là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng đã cho là lớn nhất.

Xem đáp án » 11/07/2024 1,057

Câu 5:

Cho đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM,AN với đường tròn (M,N là các tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AO chứa điểm M vẽ đường thẳng đi qua A và cắt đường tròn tại hai điểm P,Q sao cho $A P > A Q . P Q$ không đi qua O. Gọi H là trung điểm của PQ ,E là giao điểm của AO và MN

a) Chứng minh rằng : tứ giác AHON là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án » 09/09/2022 991

Câu 6:

Rút gọn các biểu thức sau : $b) B = \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}} - \sqrt{5}$

Xem đáp án » 13/07/2024 456

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.