Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Hai điểm M, N lần lượt thuộc BC, CD sao cho BMBC=14, NCND=32. Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, G đồng phẳng.

Ta có: BMBC=14⇒MC→=−3MB→⇒4AM→=AC→+3AB→ (1). NCND=32⇒2NC→=−3ND→⇒5AN→=2AC→+3AD→ (2). Cộng vế với vế của (1) với (2), ta được: AB→+AC→+AD→=4AM→+5AN→3 (3) Vì G trọng tâm ∆ABC nên AG→=13AB→+AC→+AD→ (4). Thay (3) vào (4) được: AG→=49AM→+59AN→, từ hệ thức này chứng tỏ ba véc tơ AG→, AM→, AN→ đồng phẳng. Suy ra bốn điểm A, M, N, G đồng phẳng.

Câu hỏi:

19/08/2025 2,485

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Hai điểm M, N lần lượt thuộc BC, CD sao cho $\frac{B M}{B C} = \frac{1}{4}, \frac{N C}{N D} = \frac{3}{2}$ . Chứng minh rằng

bốn điểm A, M, N, G đồng phẳng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 24 Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Hai điểm M, N lần lượt thuộc BC, CD sao cho (ảnh 1)

Ta có: $\frac{B M}{B C} = \frac{1}{4} \Rightarrow \vec{M C} = - 3 \vec{M B} \Rightarrow 4 \vec{A M} = \vec{A C} + 3 \vec{A B}$ (1).

$\frac{N C}{N D} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2 \vec{N C} = - 3 \vec{N D} \Rightarrow 5 \vec{A N} = 2 \vec{A C} + 3 \vec{A D}$ (2).

Cộng vế với vế của (1) với (2), ta được:

$\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = \frac{4 \vec{A M} + 5 \vec{A N}}{3}$ (3)

Vì G trọng tâm $∆ A B C$ nên $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D})$ (4).

Thay (3) vào (4) được: $\vec{A G} = \frac{4}{9} \vec{A M} + \frac{5}{9} \vec{A N}$ , từ hệ thức này chứng tỏ ba véc tơ $\vec{A G}, \vec{A M}, \vec{A N}$ đồng phẳng. Suy ra bốn điểm A, M, N, G đồng phẳng.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện ABCD. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD , G là trung điểm của đoạn thẳng IJ. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$

B. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{I J}$

C. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{J I}$

D. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{J I}$

Lời giải

Chọn A

Ta có G là trung điểm của đoạn thẳng IJ nên $\vec{G I} + \vec{G J} = \vec{0}$ .

Lại có I là trung điểm của cạnh AB nên $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$

và J là trung điểm của cạnh CD nên $\vec{J C} + \vec{J D} = \vec{0}$ .

Từ đó ta có

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{G I} + \vec{I A} + \vec{G I} + \vec{I B} + \vec{G J} + \vec{J C} + \vec{G J} + \vec{J D}$

$= 2 (\vec{G I} + \vec{G J}) + (\vec{I A} + \vec{I B}) + (\vec{J C} + \vec{J D}) = \vec{0}$ .

Câu 2

Cho tứ diện đều ABCD. Tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{C D}$ bằng?

A. $a^{2}$

B. $\frac{a^{2}}{2}$

C. 0

D. $- \frac{a^{2}}{2}$

Lời giải

Chọn C

Cho tứ diện đều ABCD . Tích vô hướng vectơ AB. vectơ CD bằng? (ảnh 1)

$\vec{A B} . \vec{C D} =$ $(\vec{C B} - \vec{C A}) . \vec{C D}$ $= \vec{C B} . \vec{C D} - \vec{C A} . \vec{C D}$ $= C B . C D . \cos 60^{0} - C A . C D . \cos 60^{0}$

Câu 3

Giả sử ta có $\lim_{x \to + \infty} f (x) = a$ và $\lim_{x \to + \infty} g (x) = b$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\lim_{x \to + \infty} [f (x) + g (x)] = a + b$

B. $\lim_{x \to + \infty} [f (x) . g (x)] = a . b$

C. $\lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{a}{b}$

D. $\lim_{x \to + \infty} [f (x) - g (x)] = a - b$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho $\lim (u_{n}) = 2, \lim (v_{n}) = - 3$ . Khi đó giá trị của giới hạn $\lim (u_{n} . v_{n})$ bằng?

A. 1

B. -6

C.5

D. -1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{- x^{2} + x + 2}{x - 2} khi x \neq 2 \\ m x + 2 khi x = 2 \end{cases}$ . Với giá trị nào của m thì hàm số liên tục tại $x_{0} = 2$ .

A. $\frac{- 5}{2}$

B. $\frac{5}{2}$

C. 2

D. -2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 4}{x + 2} khi x \neq - 2 \\ - 4 khi x = - 2 \end{cases}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số chỉ liên tục tại điểm x=-2 và gián đoạn tại các điểm $x \neq - 2$ .

B. Hàm số không liên tục trên R.

C. Hàm số liên tục trên R.

D. Hàm số không liên tục tại điểm x=-2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tìm giới hạn: $\lim \frac{2 n - \sqrt{4 n^{2} + n}}{n + \sqrt{n^{2} - 2 n}}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử