Câu hỏi:

24/09/2022 1,506

Cho hàm số $y = \frac{2 x}{x + 2} (C)$ . Biết trên (C) có hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ điểm $I (- 2; 2)$ đến tiếp tuyến của (C) tại các điểm A, B là lớn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

A B = 4.

A B = 8.

A B = 4 \sqrt{2} .

A B = 2 \sqrt{2} .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 163 câu Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án C

Giả sử $A (a; \frac{2 a}{a + 2})$ . Ta có $y^{'} = \frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A: $\frac{4}{{(a + 2)}^{2}} x - y - \frac{4 a}{{(a + 2)}^{2}} + \frac{2 a}{a + 2} = 0 \Rightarrow d (A, d) = \frac{|8 (a + 2)|}{\sqrt{{(a + 2)}^{4} + 16}}$

Do tính đối xứng nên A, B thuộc hai nhánh khác nhau, không mất tính tổng quát giả sử $x_{A} = a > - 2$

Đặt $t = a + 2 \Rightarrow t > 0$ . Khi đó $d (A, d) = \frac{8 t}{\sqrt{t^{4} + 16}}$

Xét $f (t) = \frac{8 t}{\sqrt{t^{4} + 16}} (t > 0)$ , từ bảng biến thiên ta có $\max_{t > 0} f (t) = f (2)$

Vậy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến tại A lớn nhất khi $a = 0$ hay $A (0; 0)$

Do tính đối xứng nên $B (- 4; 4)$ .

Vậy $A B = 4 \sqrt{2}$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C) : y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ song song với đường thẳng $(Δ) : 3 x - y + 2 = 0$ .

Xem đáp án

Lời giải

Tập xác định $D = ℝ \ \{- 2\}$

Ta có: $y^{'} = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ và $(Δ) : 3 x - y + 2 = 0 \Rightarrow y = 3 x + 2$ .

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là $M (x_{0}; y_{0})$ .

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $(Δ)$ nên $k = \frac{3}{{(x_{0} + 2)}^{2}} = 3 \Leftrightarrow {(x_{0} + 2)}^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} + 2 = 1 \\ x_{0} + 2 = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = - 1 \\ x_{0} = - 3 \end{array}$

+ Với $x_{0} = - 1$ suy ra , suy ra tiếp điểm $M_{1} (- 1; - 1)$ .

Phương trình tiếp tuyến tại là: $d_{1} : y = 3 (x + 1) - 1 \Rightarrow d_{1} : y = 3 x + 2$ .

Lúc này: $d_{1} \equiv Δ$ nên không thỏa mãn.

+ Với $x_{0} = - 3 \Rightarrow y_{0} = 5$ ta có tiếp điểm .

Phương trình tiếp tuyến tại là $(d_{2}) : y = 3 (x + 3) + 5 \Rightarrow (d_{2}) : y = 3 x + 14$ .

Vậy có một tiếp tuyến cần tìm là $d_{2} : y = 3 x + 14$ .

Câu 2

Tiếp tuyến của đồ thị $(C) : y = x^{3} + 3 x^{2} + 5$ vuông góc với đường d:x+9y=0 có phương trình là

A. .

y = 9 x; y = 9 x + 32

y = 9 x - 22; y = 9 x + 18

y = 9 x; y = 9 x - 32

y = 9 x + 22; y = 9 x - 18

Lời giải

Đáp án A

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x; d : x + 9 y = 0$ hay $y = - \frac{1}{9} x$ .

Gọi $d^{'}$ là tiếp tuyến của (C) vuông góc với d và có tiếp điểm $M (x_{0}; y_{0})$

Do $d^{'} ⊥ d$ nên $d^{'}$ có hệ số góc $k = 9$ . Do đó $y^{'} (x_{0}) = 9 \Leftrightarrow 3 x_{0}^{2} + 6 x_{0} = 9 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 9 \\ x_{0} = - 3 \Rightarrow y_{0} = 5 \end{array}$

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_{1} (1; 9)$ là: $y = 9 (x - 1) + 9 \Leftrightarrow y = 9 x$ .

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_{2} (- 3; 5)$ là: $y = 9 (x + 3) + 5 \Leftrightarrow y = 9 x + 32$ .

Câu 3

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 2}{x - 1}$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tìm m thuộc R để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số $(C_{m}) : y = x^{3} - 2 x^{2} + (m - 1) x + 2 m$ vuông góc với đường thẳng y=-x

A. .

m = \frac{10}{3}

m = \frac{1}{3}

m = \frac{10}{13}

m = 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 5}$ tại giao điểm với trục hoành

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - 3 x + 1}{x - 2}$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị (C) tại điểm có hệ số góc $k = 2$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C) : y = x^{3} - 3 x + 2$ có hệ số góc bằng 9.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học