Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và $\widehat{A}=60°.$   Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D, tia phân giác của góc ACB cắt AB tại E. BD cắt CE tại I. Tia phân giác của góc BIC cắt BC tại F. Chứng minh:

a) $\widehat{BIC}=120°$ ;

Xét DABD và DACD có:

AB = AC (giả thiết),

BD = CD (do D là trung điểm của BC),

AD là cạnh chung

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c).

Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$  hay $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ .

Xét DBMC và DCNB có:

$\widehat{BMC}=\widehat{CNB}\left(=90°\right)$,

BC là cạnh chung,

$\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ (chứng minh trên),

Do đó DBMC và DCNB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng).

Ta có AB = AM + MB, AC = AN + NC.

Mà AB = AC, BM = CN.

Suy ra AM = AN.

Vậy AM = AN.

Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB, d cắt AM tại N.

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{BCN}$  (hai góc so le trong).

Ta có BA ⊥ AC, d // AB.

Suy ra d ⊥ AC hay $\widehat{NCA}=90°$ .

Xét DMBA và DMCN có:

 BM = CM (vì M là trung điểm của BC),

 ${\widehat{M}}_1={\widehat{M}}_2$(hai góc đối đỉnh),

$\widehat{ABC}=\widehat{NCB}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆MBA = ∆MCN (g.c.g).

Suy ra AB = CN và AM = NM (các cặp cạnh tương ứng).

Xét DBAC và DNCA có:

AC là cạnh chung,

$\widehat{BAC}=\widehat{NCA}$ (cùng bằng 90 ),

AB = NC (chứng minh trên)

Do đó ∆BAC = ∆NCA (c.g.c)

Suy ra BC = NA (hai cạnh tương ứng).

Mà AM = MN, AN = AM + MN = 2AM.

Nên BC = AN = 2AM.

Vậy 2AM = BC.