Cho hình thoi ABCD có $\widehat{A}={60}^0$. Gọi M là một cạnh thuộc cạnh AD. Đường thẳng CM cắt đường thẳng AB tại N. BM cắt DN tại P. Tính góc $\widehat{BPD}$ .

Ta có $AM\text{//}BC$ ( do AD // BC) suy ra $\Delta NAM”\Delta NBC\Rightarrow \frac{NA}{AM}=\frac{NB}{BC}$hay $\frac{NA}{AM}=\frac{NB}{AB}$ (1) (vì BC = AB).Ta có NA // DC ( do AB // DC) suy ra $\Delta NAM”\Delta CDM\Rightarrow \frac{NA}{AM}=\frac{CD}{DM}$hay $\frac{NA}{AM}=\frac{AB}{DM}$ (2) (vì $CD=AB$ ).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{NA}{AB}=\frac{AB}{DM}$hay $A{B}^2=DM.BN$.

Giả sử $MB\le MC$ . Gọi Q là giao điểm MO và AB ; K là giao điểm CP và MN.

Vì $MNAP$  là hình bình hành nên $\widehat{QPM}=\widehat{ANM}$(1)

Vì ∆ABC cân tại A nên suy ra $\Delta PBM$ cân tại P và $\Delta NCM$ cân tại N.

Do đó $PB=PM=AN$ và $NC=NM=AP$ kết hợp với $MN\text{//}AP$ , suy ra $\frac{PQ}{PM}=\frac{PQ}{PB}=\frac{KM}{KN}=\frac{PB}{PA}=\frac{NA}{NM}$(2)