Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14. Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì được số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị. Tìm số đã cho.

Gọi chữ số hàng chục là a ($a\in N,0<a\le 9$ )

Gọi chữ số hàng đơn vị là b ($b\in N,0\le b\le 9$ )

Số cần tìm là $\overline{ab}=10a+b$

Chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục là 5 đơn vị nên ta có phương trình:   $b-a=5\iff -a+b=5\left(1\right)$     

Khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì ta được số mới là $\overline{a1b}=100a+10+b$

Số mới lớn hơn số đó là 280 đơn vị nên ta có phương trình :  $\left(100a+10+b\right)-\left(10a+b\right)=280\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta có hệ phương trình

   $\left\{\begin{array}{l}-a+b=5\\ \left(100a+10+b\right)-\left(10a+b\right)=280\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-a+b=5\\ 90a=270\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=8\end{array}\right.\left(tm\right)$

 Vậy số cần tìm là 38.

Gọi chữ số hàng chục là x chữ số hàng đơn vị là y (đk : $x,y\in N,0<x,y\le 9$ )

Nếu chia số đó cho tổng 2 chữ số ta được thương là 6 nên có phương trình:    $\frac{10x+y}{x+y}=6$

Nếu lấy tích 2 chữ số cộng thêm 25 ta được số nghịch đảo nên ta có phương trình       $xy+25=10y+x$                

Theo bài ra ta có HPT:        $\left\{\begin{array}{l}\frac{10x+y}{x+y}=6\text{ (1)}\\ xy+25=10y+x\text{ (2)}\end{array}\right.$

Từ phương trình $\left(1\right)$  ta có :  $10x+y=6x+6y\iff 4x=5y\iff x=\frac{5y}{4}$

Thay vào phương trình $\left(2\right)$  ta có :   $\frac{5y.y}{4}+25=10y+\frac{5y}{4}\iff 5y^2+100=40y+5y\iff 5y^2-45y+100=0\iff y^2-9y+20=0$ (3)

$\Delta =1>0$ . Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt $y_1=5;y_2=4$  (thỏa mãn)

Với $y_1=5\Rightarrow x_1=\frac{5.5}{4}$ (không thỏa mãn điều kiện của x)

Với $y_2=4\iff x_2=\frac{5.4}{4}=5$  (Thỏa mãn điều kiện của x)

Vậy chữ số hàng chục là 5, chữ số hàng đơn vị là 4. Số cần tìm là 54.

Nhận xét: Có những bài toán khi giải hệ phương trình, khi sử dụng phép thế từ một phương trình thì phương trình thứ hai sẽ giải dưới dạng phương trình bậc hai một ẩn.