a) Tìm BCNN của 12; 30 và 45.

Số học sinh của trường khi xếp thành hàng 3, hàng 4, hàng 7; hàng 9 đều vừa đủ nên số học sinh của trường là bội chung của 3; 4; 7; 9.

Ta có: 3 = 3; 4 = 2²; 7 = 7; 9 = 3².

BCNN(3, 4, 7, 9) = 2².7.3² = 252.

BC(3, 4, 7, 9) = {0; 252; 504; 756; 1 008; 1 260; 1 512; 1 764; 2 016;…}.

Vì số học sinh nằm trong khoảng 1 700 đến 1 900 nên số học sinh của nhà trường là 1764 học sinh.

Vì a và b có ước chung lớn nhất là 16 nên a = 16.m và b = 16.n (với m, n là số tự nhiên và hai số này nguyên tố cùng nhau).

Vì m, n là hai số nguyên tố cùng nhau nên ƯCLN(m, n) = 1.

Từ đây ta có: [a, b] = 16.m.n = 240.

Do đó, m.n = 240 : 16 = 15.

Ta có bảng sau:

Vậy ta tìm được 4 cặp số nguyên dương (a; b) thỏa mãn yêu cầu bài là (16; 240); (240; 16); (48; 80); (80; 48).