Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.

a)   Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và $AM=BN=CP=DO=x$.

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:

$\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}={90}^0$ và $MB=NC=PD=QA=a-x$, nên bốn tam giác vuông $MBN,NCP,PDQ,QAM$ bằng nhau trường hợp (c-g-c) suy ra bốn cạnh tương ứng của các tam giác đó bằng nhau là $MN=NP=PQ=QA$. Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Áp dụng tính chất về góc và kết quả hai tam giác bằng nhau vào hai tam giác MBN, NCP ta được:

      $\left\{\begin{array}{c}\widehat{M_1}+\widehat{N_2}={90}^0\\ \widehat{M_1}=\widehat{N_1}\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{N_1}+\widehat{N_2}={90}^0$                  (1)

Lại có góc BNC là góc bẹt hay

      $\widehat{BNC}=\widehat{N_1}+\widehat{N_2}+\widehat{N_3}={180}^0$                       (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{N_3}={180}^0-{90}^0={90}^0$.

Điều này chứng tỏ hình thoi MNPQ có một góc vuông nên nó là hình vuông.

b)  Tứ giác MNEF là hình vuông.

Giải thích:

Chứng minh tương tự như câu a) ta cũng có tứ giác EBCF là hình vuông.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình vuông ADFE và MENF, ta được:

      $\left\{\begin{array}{c}AF\perp DE;EC\perp FB\\ \widehat{E_1}=\widehat{E_2}={45}^0\end{array}\Rightarrow \widehat{M}=\widehat{N}=\widehat{E}={90}^0\right.$.

Tứ giác MENF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật MENF lại có EF là đường phân giác của góc MEN nên nó là hình vuông.