Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và $AM=BN=CP=DO=x$.

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:

$\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}={90}^0$ và $MB=NC=PD=QA=a-x$, nên bốn tam giác vuông $MBN,NCP,PDQ,QAM$ bằng nhau trường hợp (c-g-c) suy ra bốn cạnh tương ứng của các tam giác đó bằng nhau là $MN=NP=PQ=QA$. Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Áp dụng tính chất về góc và kết quả hai tam giác bằng nhau vào hai tam giác MBN, NCP ta được:

      $\left\{\begin{array}{c}\widehat{M_1}+\widehat{N_2}={90}^0\\ \widehat{M_1}=\widehat{N_1}\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{N_1}+\widehat{N_2}={90}^0$                  (1)

Lại có góc BNC là góc bẹt hay

      $\widehat{BNC}=\widehat{N_1}+\widehat{N_2}+\widehat{N_3}={180}^0$                       (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{N_3}={180}^0-{90}^0={90}^0$.

Điều này chứng tỏ hình thoi MNPQ có một góc vuông nên nó là hình vuông.