c) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 4: Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

c) H là trung điểm AD

Kẻ $P I ⊥ B Q (I \in B Q)$ và PI cắt AB tại $H \Rightarrow H$ là trực tâm của $Δ B P Q$ .

Ta có: $A B^{2} = A E . A F \Rightarrow \frac{A E}{A B} = \frac{A B}{A F} \Rightarrow \frac{A E}{A B / 2} = \frac{A B}{A F / 2} \Rightarrow \frac{A E}{O A} = \frac{A B}{A Q}$

$\Rightarrow Δ A E O ∽ Δ A B Q (\hat{E A O} = \hat{B A Q} = 90 °, \frac{A E}{O A} = \frac{A B}{A Q}) \Rightarrow \hat{A B Q} = \hat{A E O}$

Mà $\hat{I P Q} = \hat{A B Q}$ (cùng phụ với $\hat{B Q P}$ )

$\Rightarrow \hat{A E O} = \hat{I P Q},$ mà hai góc ở vị trí đồng vị nên $I P / / O E .$

Trong $Δ O A E$ có: $P I / / O E; E P = P A (g t) \Rightarrow O H = H A .$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho $∆ A B C$ có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm D và E Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng CD và BE

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.

Xem đáp án

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm (ảnh 1)

Ta có : $\hat{B D C} = 90 °$ (chắn nửa đường tròn)

$\hat{B E C} = 90 °$ (chắn nửa đường tròn)

Suy ra : $\hat{A D H} = \hat{B D C} = 90 °, \hat{A E H} = \hat{B E C} = 90 °$

Xét tứ giác có:

$\hat{A D H} + \hat{A E H} = 90 ° + 90 ° = 180 °$

Tứ giác $A D H E$ có hai góc đối bù nhau.

Vậy tứ giác $A D H E$ nội tiếp trong một đường tròn.

Tâm I là trung điểm cạnh AH

Câu 2

d/ CI là tia phân giác của góc góc $\overset{⏜}{M C H}$ .

Xem đáp án

Lời giải

d/ Từ $M H . O M = M A^{2}, M C . M D = M A^{2}$

$\Rightarrow M H . O M = M C . M D$ $\Rightarrow \frac{M H}{M D} = \frac{M C}{M O}$ (*)

Xét $Δ M H C v à Δ M D O$ có:

$\frac{M H}{M D} = \frac{M C}{M O}$ và $\hat{D M O}$ chung

$\Rightarrow ∆ M H C$ đồng dạng $\Rightarrow M D O$ $\Rightarrow \frac{M C}{M O} = \frac{M H}{M D} = \frac{H C}{D O} \Rightarrow \frac{M C}{C H} = \frac{M O}{OD} \Rightarrow \frac{M C}{C H} = \frac{M O}{O A}$ (1)

Ta lại có $\hat{M A I} = \hat{I A H}$ (cùng chắn hai cung bằng nhau) $\Rightarrow A I$ là phân giác của $\hat{M A H}$ .

Theo t/c đường phân giác của tam giác, ta có: $\frac{M I}{I H} = \frac{M A}{A H}$ (2)

$∆ M H A$ và $∆ M A O$ có chung và $\hat{M H A} = \hat{M A O} = 90^{0}$ do đó đồng dạng (g.g) $\Rightarrow \frac{M O}{O A} = \frac{M A}{A H}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{M C}{C H} = \frac{M I}{I H}$ suy ra CI là tia phân giác của góc $\hat{M C H}$ .

Câu 3