Cho elip (E) : $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$. Qua tiêu điểm F₁ của (E) dựng đường thẳng song song với Oy và cắt (E) tại hai điểm M và N. Tính độ dài MN

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì điểm C thuộc (P) nên C$\left(\frac{c^2}{4};c\right)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-6;8)$; $\overrightarrow{AC}=\left(\frac{c^2}{4};c+4\right)$

Theo giả thiết tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 0

⇔ $-6.\frac{c^2}{4}+8(c+4)=0$

⇔ $\frac{-3}{2}{c}^2+8c+32=0$

⇔$\left[\begin{array}{l}c=8\\ c=\frac{-8}{3}\end{array}\right.$

Với c = 8 thì C(16; 8)

Với c = $\frac{-8}{3}$ thì C$\left(\frac{16}{9};\frac{-8}{3}\right)$

Vậy điểm C cần tìm có toạ độ là: C(16; 8) hoặc C$\left(\frac{16}{9};\frac{-8}{3}\right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: 9x² + 16y² = 144 ⇔ $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$. Khi đó: a = 4; b = 3; c = $\sqrt{7}$.

⇒ F₁ (−$\sqrt{7}$;0); F₂ ($\sqrt{7}$; 0); F₁F₂ = 2c = 2$\sqrt{7}$; MF₁ + MF₂ = 8

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MF₁F₂ ta có:

F₁F₂² = MF₁² + MF₂² − 2MF₁. MF₂. cos$\widehat{F_{1}M{F}_2}$ 

⇔ 28 = MF₁² + MF₂² − 2MF₁. MF₂. cos60º

⇔ 28 = MF₁² + MF₂² − MF₁. MF₂

⇔ MF₁² + MF₂² + 2MF₁. MF₂ − 3MF₁. MF₂ = 28

⇔ (MF₁ + MF₂)² − 3MF₁. MF₂ = 28

⇔ 64 − 3MF₁. MF₂ = 28

⇔ MF₁. MF₂ = 12.