Cho elip (E) : 9x² + 16y² = 144 . Với M là điểm thuộc elip biết $\widehat{F_{1}M{F}_2}$= 60°. Tính MF₁.MF₂

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì điểm C thuộc (P) nên C$\left(\frac{c^2}{4};c\right)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-6;8)$; $\overrightarrow{AC}=\left(\frac{c^2}{4};c+4\right)$

Theo giả thiết tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 0

⇔ $-6.\frac{c^2}{4}+8(c+4)=0$

⇔ $\frac{-3}{2}{c}^2+8c+32=0$

⇔$\left[\begin{array}{l}c=8\\ c=\frac{-8}{3}\end{array}\right.$

Với c = 8 thì C(16; 8)

Với c = $\frac{-8}{3}$ thì C$\left(\frac{16}{9};\frac{-8}{3}\right)$

Vậy điểm C cần tìm có toạ độ là: C(16; 8) hoặc C$\left(\frac{16}{9};\frac{-8}{3}\right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của (P) có dạng: y² = 2px (p > 0)

Vì (P) có đường chuẩn ∆ : x + 4 = 0 hay x = −4 ⇒ $\frac{-p}{2}=-4$ ⇔ p = 8

Do đó phương trình chính tắc của (P) là: y² = 16x

Gọi M(x₀; y₀). Vì M thuộc (P) nên ta có:

d(M; ∆) = MF = 5

⇔ $\frac{\left|x_0+4\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=5$

⇔ $\left|x_0+4\right|=5$ 

⇔ $\left[\begin{array}{l}{x}_0+4=5\\ x_0+4=-5\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}{x}_0=1\\ x_0=-9\end{array}\right.$ 

Với x₀ = – 9 ta có: y₀² = 16 .(– 9) = – 144 (vô lí)

Với x₀ = 1 ta có: y₀² = 16.1 = 16 ⇔ $\left[\begin{array}{l}{y}_0=-4\\ y_0=4\end{array}\right.$

Vậy M (1; 4) hoặc M(1; – 4).