Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x+y=0 và d2: 3x-y=0. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại điểm A có hoành độ dương, (C) cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông t...

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: D Vì A ∈ d1 nên Aa;−a3 a>0 B, C ∈ d2 nên Bb;b3, Cc;c3. Suy ra AB→=b−a;b3+a3, AC→=c−a;c3+a3,BC→=c−b;c3−b3 Đường thẳng d1: 3x+y=0 có vectơ pháp tuyến là n→1=3;1 nên có vectơ chỉ phương là u→1=1;-3. Đường thẳng d2: 3x-y=0 có vectơ pháp tuyến là n→2=3;-1 nên có vectơ chỉ phương là u→2=1;3. Ba điểm A, B, C đều nằm trên đường tròn mà tam giác ABC vuông tại B Do đó AC là đường kính của đường tròn (C). ⇒ AC ⊥ d1 ⇔AC→.u→1=0⇔1.c−a−3c3+a3=0 ⇔ c – a – 3c – 3a = 0 Û 2a + c = 0 (1). Lại có tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ d2 ⇔AB→.u2→=0⇔1. (b-a)+3.(b3+a3)=0 ⇔ b – a + 3b + 3a = 0 ⇔ a + 2b = 0 (2). Mặt khác SABC=32⇔12.dA;d2.BC=32 ⇔3.a−−a332+−12.c−b2+c3−b32=3 ⇔2a32.4c−b2=3⇔2a32.2c−b=3 (do a > 0) ⇔ 2a|c – b| = 1 (3) Từ (1) và (2) suy ra 2(2a + c) – (a + 2b) = 2 Û 2c – 2b = –3a Thay vào (2) ta được a.|–3a| = 1 Û 3a2 = 1 (do a > 0) ⇔a=33 (do a > 0). Khi đó b=−36, c=−233 ⇒A33;−1, C−233;−2 và AC→=−3;−1 Đường tròn (C) có AC là đường kính nên nhận trung điểm I−36;−32 của AC làm tâm và bán kính R=AC2=−32+−122=1. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là C: x+362+y+322=1.

Câu hỏi:

02/11/2022 27,108

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: $\sqrt{3} x + y = 0$ và d₂: $\sqrt{3} x - y = 0$ . Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d₁ tại điểm A có hoành độ dương, (C) cắt d₂ tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và có diện tích bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Phương trình của đường tròn (C) là:

A. ${(x + \frac{\sqrt{3}}{6})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 1;$

B. ${(x - \frac{\sqrt{3}}{6})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 1;$

C. ${(x - \frac{\sqrt{3}}{6})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1;$

D. ${(x + \frac{\sqrt{3}}{6})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (Phần 2) có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: căn bậc hai 3x+y=0 và d2: căn bậc hai 3x-y=0 . (ảnh 1)

Vì A ∈ d₁ nên $A (a; - a \sqrt{3}) (a > 0)$

B, C ∈ d₂ nên $B (b; b \sqrt{3}), C (c; c \sqrt{3})$ .

Suy ra $\vec{A B} = (b - a; b \sqrt{3} + a \sqrt{3}), \vec{A C} = (c - a; c \sqrt{3} + a \sqrt{3}), \vec{B C} = (c - b; c \sqrt{3} - b \sqrt{3})$

Đường thẳng d₁: $\sqrt{3} x + y = 0$ có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{1} = (\sqrt{3}; 1)$ nên có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{1} = (1; - \sqrt{3})$ .

Đường thẳng d₂: $\sqrt{3} x - y = 0$ có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{2} = (\sqrt{3}; - 1)$ nên có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{2} = (1; \sqrt{3})$ .

Ba điểm A, B, C đều nằm trên đường tròn mà tam giác ABC vuông tại B

Do đó AC là đường kính của đường tròn (C).

$\Rightarrow$ AC ⊥ d₁ $\Leftrightarrow \vec{A C} . {\vec{u}}_{1} = 0 \Leftrightarrow 1. (c - a) - \sqrt{3} (c \sqrt{3} + a \sqrt{3}) = 0$

$\Leftrightarrow$ c – a – 3c – 3a = 0 Û 2a + c = 0 (1).

Lại có tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ d₂

$\Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{u_{2}} = 0 \Leftrightarrow 1 . (b - a) + \sqrt{3} . (b \sqrt{3} + a \sqrt{3}) = 0$

$\Leftrightarrow$ b – a + 3b + 3a = 0 $\Leftrightarrow$ a + 2b = 0 (2).

Mặt khác $S_{A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} . d (A; d_{2}) . B C = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{|\sqrt{3} . a - (- a \sqrt{3})|}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}} . \sqrt{{(c - b)}^{2} + {(c \sqrt{3} - b \sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \frac{|2 a \sqrt{3}|}{2} . \sqrt{4 {(c - b)}^{2}} = \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{2 a \sqrt{3}}{2} .2 |c - b| = \sqrt{3}$ (do a > 0)

$\Leftrightarrow$ 2a|c – b| = 1 (3)

Từ (1) và (2) suy ra 2(2a + c) – (a + 2b) = 2 Û 2c – 2b = –3a

Thay vào (2) ta được a.|–3a| = 1 Û 3a² = 1 (do a > 0)

$\Leftrightarrow a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ (do a > 0).

Khi đó $b = - \frac{\sqrt{3}}{6}, c = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow A (\frac{\sqrt{3}}{3}; - 1), C (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}; - 2)$ và $\vec{A C} = (- \sqrt{3}; - 1)$

Đường tròn (C) có AC là đường kính nên nhận trung điểm $I (- \frac{\sqrt{3}}{6}; - \frac{3}{2})$ của AC làm tâm và bán kính $R = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}}{2} = 1$ .

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là $(C) : {(x + \frac{\sqrt{3}}{6})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1.$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 1)² = 25 và điểm M(9; – 4). Gọi d là tiếp tuyến của (C), biết d đi qua M và không song song với các trục toạ độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến d bằng:

A. $\sqrt{3};$

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(–1; 1) và R = 5.

Ta có $\vec{I M} = (10; - 5)$

Giả sử tiếp tuyến d có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (a; b)$ (với a, b ≠ 0 do d không song song với các trục toạ độ).

Khi đó tiếp tuyến d đi qua điểm M(9; – 4) nên có phương trình:

a(x – 9) + b(y + 4) = 0 $\Leftrightarrow$ ax + by – 9a + 4b = 0.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn nên d(I, d) = R

$\Leftrightarrow \frac{|- a + b - 9 a + 4 b|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = 5 \Leftrightarrow |5 b - 10 a| = 5 \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

$\Leftrightarrow$ 5² . (b – 2a)² = 5² . (a² + b²) $\Leftrightarrow$ b² – 4ab + 4a² = a² + b²

$\Leftrightarrow$ 3a² – 4ab = 0 Û a(3a – 4b) = 0

$\Leftrightarrow$ 3a = 4b.

Chọn b = 3 thì a = 4.

Khi đó d có phương trình là:

4x + 3y – 36 + 12 = 0 hay 4x + 3y – 24 = 0.

Do đó d(P; d) = $\frac{|4.6 + 3.5 - 24|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{15}{5} = 3.$

Câu 2

Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(5; –2) của đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 8 là:

A. x – 5 = 0;

B. x + y – 3 = 0 hoặc x – y – 7 = 0;

C. x – 5 = 0 hoặc x + y – 3 = 0;

D. y + 2 = 0 hoặc x – y – 7 = 0.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(1; –2) và bán kính R = $2 \sqrt{2}$ .

Giả sử tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{d} = (a; b)$ (a² + b² ≠ 0).

Phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A(5; –2) và nhận ${\vec{n}}_{d} = (a; b)$ làm vectơ pháp tuyến là:

a(x – 5) + b(y + 2) = 0 hay ax + by – 5a + 2b = 0.

Ta có: $d (I, d) = R \Leftrightarrow \frac{|a .1 + b . (- 2) - 5 a + 2 b|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = 2 \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow$ |a – 2b – 5a + 2b| = $2 \sqrt{2 (a^{2} + b^{2})}$

$\Leftrightarrow$ (– 4a)² = 8(a² + b²)

$\Leftrightarrow$ 16a² – 8a² = 8b²

$\Leftrightarrow$ a² = b²

$\Leftrightarrow$ a = b hoặc a = – b.

Với a = b, chọn b = 1 thì a = 1.

Khi đó phương trình d là x + y – 3 = 0.

Với a = – b, chọn b = – 1 thì a = 1.

Khi đó phương trình d là x – y – 7 = 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 3

Cho phương trình x² + y² – 2(m + 1)x + 4y – 1 = 0 (1). Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?

A. m = 2;

B. m = – 1;

C. m = 1;

D. m = –2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tiếp tuyến d của một đường tròn có phương trình: x – y = 0. Biết bán kính của đường tròn này bằng 2 và điểm O(0;0) thuộc đường tròn. Hỏi có bao nhiêu phương trình đường tròn tâm I có tiếp tuyến trên?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 1)² = 25 và điểm M(9; – 4). Gọi d là tiếp tuyến của (C), biết d đi qua M và không song song với các trục toạ độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến d bằng:

Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(5; –2) của đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 8 là:

Cho phương trình x² + y² – 2(m + 1)x + 4y – 1 = 0 (1). Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?