Câu hỏi:

02/11/2022 290

Cho tiếp tuyến d của một đường tròn có phương trình: x – y = 0. Biết bán kính của đường tròn này bằng 2 và điểm O(0;0) thuộc đường tròn. Hỏi có bao nhiêu phương trình đường tròn tâm I có tiếp tuyến trên?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (Phần 2) có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn.

Khi đó IM vuông góc với tiếp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn là: x – y = 0 có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{1} = (1; - 1)$ .

Đường thẳng IM có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{2} = (1; 1)$ nên phương trình có dạng: x + y + c = 0.

Điểm I nằm trên đường thẳng IM nên ta có I(t; – c – t)

$\Rightarrow \vec{O I} = (t; - c - t)$

O nằm trên đường tròn nên OI = R = 2

Do đó t² + (– c – t)² = 4.

Mặt khác, IM vuông góc với tiếp tuyến nên khoảng cách từ I đến tiếp tuyến d bằng 2.

Hay $d (I, d) = 2 \Leftrightarrow \frac{|t - (- c - t)|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = 2$

$\Leftrightarrow |c + 2 t| = 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c = 2 \sqrt{2} - 2 t \\ c = - 2 \sqrt{2} - 2 t \end{array}$

Khi $c = 2 \sqrt{2} - 2 t$ thì ta có: $t^{2} + {(2 \sqrt{2} - 2 t - t)}^{2} = 4$

$\Leftrightarrow t^{2} + {(2 \sqrt{2} - 3 t)}^{2} = 4 \Leftrightarrow 10 t^{2} - 12 \sqrt{2} t + 4 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \sqrt{2} \\ t = \frac{\sqrt{2}}{5} \end{array}$

Với 2 giá trị của t, suy ra có 2 điểm I.

Khi $c = - 2 \sqrt{2} - 2 t$ thì ta có: $t^{2} + {(- 2 \sqrt{2} - 3 t)}^{2} = 4$

$\Leftrightarrow 10 t^{2} + 12 \sqrt{2} t + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - \sqrt{2} \\ t = - \frac{\sqrt{2}}{5} \end{array}$

Với 2 giá trị của t, suy ra có 2 điểm I.

Vậy có 4 phương trình đường tròn thỏa mãn.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: $\sqrt{3} x + y = 0$ và d₂: $\sqrt{3} x - y = 0$ . Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d₁ tại điểm A có hoành độ dương, (C) cắt d₂ tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và có diện tích bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Phương trình của đường tròn (C) là:

A. ${(x + \frac{\sqrt{3}}{6})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 1;$

B. ${(x - \frac{\sqrt{3}}{6})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 1;$

C. ${(x - \frac{\sqrt{3}}{6})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1;$

D. ${(x + \frac{\sqrt{3}}{6})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1.$

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: căn bậc hai 3x+y=0 và d2: căn bậc hai 3x-y=0 . (ảnh 1)

Vì A ∈ d₁ nên $A (a; - a \sqrt{3}) (a > 0)$

B, C ∈ d₂ nên $B (b; b \sqrt{3}), C (c; c \sqrt{3})$ .

Suy ra $\vec{A B} = (b - a; b \sqrt{3} + a \sqrt{3}), \vec{A C} = (c - a; c \sqrt{3} + a \sqrt{3}), \vec{B C} = (c - b; c \sqrt{3} - b \sqrt{3})$

Đường thẳng d₁: $\sqrt{3} x + y = 0$ có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{1} = (\sqrt{3}; 1)$ nên có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{1} = (1; - \sqrt{3})$ .

Đường thẳng d₂: $\sqrt{3} x - y = 0$ có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{2} = (\sqrt{3}; - 1)$ nên có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{2} = (1; \sqrt{3})$ .

Ba điểm A, B, C đều nằm trên đường tròn mà tam giác ABC vuông tại B

Do đó AC là đường kính của đường tròn (C).

$\Rightarrow$ AC ⊥ d₁ $\Leftrightarrow \vec{A C} . {\vec{u}}_{1} = 0 \Leftrightarrow 1. (c - a) - \sqrt{3} (c \sqrt{3} + a \sqrt{3}) = 0$

$\Leftrightarrow$ c – a – 3c – 3a = 0 Û 2a + c = 0 (1).

Lại có tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ d₂

$\Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{u_{2}} = 0 \Leftrightarrow 1 . (b - a) + \sqrt{3} . (b \sqrt{3} + a \sqrt{3}) = 0$

$\Leftrightarrow$ b – a + 3b + 3a = 0 $\Leftrightarrow$ a + 2b = 0 (2).

Mặt khác $S_{A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} . d (A; d_{2}) . B C = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{|\sqrt{3} . a - (- a \sqrt{3})|}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}} . \sqrt{{(c - b)}^{2} + {(c \sqrt{3} - b \sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \frac{|2 a \sqrt{3}|}{2} . \sqrt{4 {(c - b)}^{2}} = \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{2 a \sqrt{3}}{2} .2 |c - b| = \sqrt{3}$ (do a > 0)

$\Leftrightarrow$ 2a|c – b| = 1 (3)

Từ (1) và (2) suy ra 2(2a + c) – (a + 2b) = 2 Û 2c – 2b = –3a

Thay vào (2) ta được a.|–3a| = 1 Û 3a² = 1 (do a > 0)

$\Leftrightarrow a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ (do a > 0).

Khi đó $b = - \frac{\sqrt{3}}{6}, c = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow A (\frac{\sqrt{3}}{3}; - 1), C (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}; - 2)$ và $\vec{A C} = (- \sqrt{3}; - 1)$

Đường tròn (C) có AC là đường kính nên nhận trung điểm $I (- \frac{\sqrt{3}}{6}; - \frac{3}{2})$ của AC làm tâm và bán kính $R = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}}{2} = 1$ .

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là $(C) : {(x + \frac{\sqrt{3}}{6})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1.$

Câu 2

Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 1)² = 25 và điểm M(9; – 4). Gọi d là tiếp tuyến của (C), biết d đi qua M và không song song với các trục toạ độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến d bằng:

A. $\sqrt{3};$

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(–1; 1) và R = 5.

Ta có $\vec{I M} = (10; - 5)$

Giả sử tiếp tuyến d có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (a; b)$ (với a, b ≠ 0 do d không song song với các trục toạ độ).

Khi đó tiếp tuyến d đi qua điểm M(9; – 4) nên có phương trình:

a(x – 9) + b(y + 4) = 0 $\Leftrightarrow$ ax + by – 9a + 4b = 0.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn nên d(I, d) = R

$\Leftrightarrow \frac{|- a + b - 9 a + 4 b|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = 5 \Leftrightarrow |5 b - 10 a| = 5 \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

$\Leftrightarrow$ 5² . (b – 2a)² = 5² . (a² + b²) $\Leftrightarrow$ b² – 4ab + 4a² = a² + b²

$\Leftrightarrow$ 3a² – 4ab = 0 Û a(3a – 4b) = 0

$\Leftrightarrow$ 3a = 4b.

Chọn b = 3 thì a = 4.

Khi đó d có phương trình là:

4x + 3y – 36 + 12 = 0 hay 4x + 3y – 24 = 0.

Do đó d(P; d) = $\frac{|4.6 + 3.5 - 24|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{15}{5} = 3.$

Câu 3

Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(5; –2) của đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 8 là:

A. x – 5 = 0;

B. x + y – 3 = 0 hoặc x – y – 7 = 0;

C. x – 5 = 0 hoặc x + y – 3 = 0;

D. y + 2 = 0 hoặc x – y – 7 = 0.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho phương trình x² + y² – 2(m + 1)x + 4y – 1 = 0 (1). Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?

A. m = 2;

B. m = – 1;

C. m = 1;

D. m = –2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho tiếp tuyến d của một đường tròn có phương trình: x – y = 0. Biết bán kính của đường tròn này bằng 2 và điểm O(0;0) thuộc đường tròn. Hỏi có bao nhiêu phương trình đường tròn tâm I có tiếp tuyến trên?

Cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 25 và điểm M(9; – 4). Gọi d là tiếp tuyến của (C), biết d đi qua M và không song song với các trục toạ độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến d bằng:

Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(5; –2) của đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 8 là:

Cho phương trình x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4y – 1 = 0 (1). Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 1)² = 25 và điểm M(9; – 4). Gọi d là tiếp tuyến của (C), biết d đi qua M và không song song với các trục toạ độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến d bằng:

Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(5; –2) của đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 8 là:

Cho phương trình x² + y² – 2(m + 1)x + 4y – 1 = 0 (1). Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?