Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD, trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DB, gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC và CE. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của AM, AN với BE. Nhận định đúng nhất là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có AK là trung tuyến ⇒ KB = KC

Xét ∆BKA và ∆CKD có

AK = KD (giả thiết)

$\widehat{BKA}=\widehat{CKD}$ (hai góc đối đỉnh)

KB = KC (chứng minh trên)

Suy ra ∆BKA = ∆CKD (c.g.c)

Do đó AB = DC (hai cạnh tương ứng)

$\widehat{KAB}=\widehat{KDC}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên AB // CD

Mặt khác BA ⊥ AC (tam giác ABC vuông tại A) nên DC ⊥ AC

Xét ∆BAH và ∆DCH có

AB = DC (chứng minh trên)

$\widehat{BAH}=\widehat{DCH}=90°$

AH = CH (BH là trung tuyến)

Suy ra ∆BAH = ∆DCH (c.g.c)

Do đó BH = DH (hai cạnh tương ứng)

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BH và AK cắt nhau tại M nên M là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra $MH=\frac{1}{3}BH$ (tính chất trọng tâm)

Tam giác DCA có hai đường trung tuyến DH và CK cắt nhau tại N nên N là trọng tâm tam giác DCA.

Suy ra $NH=\frac{1}{3}DH$ (tính chất trọng tâm)

Mà BH = DH (chứng minh trên)

Nên MH = NH

Do đó ∆HMN cân tại H

Vậy ∆HMN cân tại M là sai.