Cho tam giác ABC có H là trực tâm; A', B' lần lượt là chân đường cao xuất phát từ các điểm A, B. Gọi D, M, N, P lần lượt là trung điểm của AH, BC, CA, AB. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

Đáp án đúng là: C

Do tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao nên:

AB2 = BH . BC $\Rightarrow BH=\frac{A{B}^2}{BC}$.

AC2 = CH . BC $\Rightarrow CH=\frac{A{C}^2}{BC}$.

BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 52 = 34. 

Lại có H thuộc BC nên hai vectơ $\overrightarrow{HB},\overrightarrow{HC}$ ngược hướng.

Do đó, $\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{HC}=HB.HC.cos180°=-HB.HC$ $=-\frac{A{B}^2.A{C}^2}{B{C}^2}=-\frac{225}{34}$. 

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$

$\iff \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0$

$\iff \left(\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}\right).\overrightarrow{CB}=0$

$\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CB}=0$.

Suy ra AM ⊥ BC.

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.