Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M mà $\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$ là :

Đáp án đúng là: C

Do tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao nên:

AB2 = BH . BC $\Rightarrow BH=\frac{A{B}^2}{BC}$.

AC2 = CH . BC $\Rightarrow CH=\frac{A{C}^2}{BC}$.

BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 52 = 34. 

Lại có H thuộc BC nên hai vectơ $\overrightarrow{HB},\overrightarrow{HC}$ ngược hướng.

Do đó, $\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{HC}=HB.HC.cos180°=-HB.HC$ $=-\frac{A{B}^2.A{C}^2}{B{C}^2}=-\frac{225}{34}$. 

Đáp án đúng là: A

 

Do M, N lần lượt là trung điểm của CB và CA nên MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // AB.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}CH\perp AB\\ MN\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}AB\end{array}\right.\Rightarrow CH\perp MN$ (1).

Do D, N lần lượt là trung điểm của AH và AC nên DN là đường trung bình của tam giác AHC nên DN // CH (2).

Từ (1) và (2), suy ra DN ⊥ MN ⇒ $\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{ND}=0$.

Mặt khác, $A^{\text{'}}D\perp A^{\text{'}}M\Rightarrow \overrightarrow{A^{\text{'}}D}.\overrightarrow{A^{\text{'}}M}=0.$  

Do đó, $\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{A^{\text{'}}M}.\overrightarrow{A^{\text{'}}D}$.