Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên R. Biết rằng các tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) tại các điểm có hoành độ x = -1, x=0, x=1 lần lượt tạo với chiều dương của trục Ox các góc ${30}^{\mathrm{o}}, {45}^{\mathrm{o}}, {60}^{\mathrm{o}}$

Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_{-1}^0\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+$$4{\int }_0^1{\left[\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^3.\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1) = 1, ${\int }_0^{1}x.f\left(x\right)dx=1/5$ và ${\int }_0^1{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx=9/5$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^1\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f(0) = 3 và $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(2-\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+2$. Tích phân ${\int }_0^{2}xf\text{'}\left(x\right)dx$ bằng

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm f'(x) liên tục trên đoạn [1;3], $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ne 0$ với mọi $\mathrm{x}\in \left[1;3\right]$, đồng thời $\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right){\left(1+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2={\left[{\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2\left(\mathrm{x}-1\right)\right]}^2$ và f(1) = -1

Biết rằng ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx=a\ln 3+b$,$\mathrm{a},\mathrm{b}\in \mathrm{Z}$, tính tổng $\mathrm{S}=\mathrm{a}+{\mathrm{b}}^2$

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R, $\mathrm{f}\left(0\right)=0; \mathrm{f}\text{'}\left(0\right)\ne 0$ và thỏa mãn hệ thức $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)+18{\mathrm{x}}^2=$$\left(3{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}\right)f\text{'}\left(x\right)+$$\left(6\mathrm{x}+1\right)f\left(x\right)$.

Biết ${\int }_0^1\left(x+1\right)e^{f\left(x\right)}dx=a{e}^2+b$, với $\mathrm{a}, \mathrm{b}\in \mathrm{Q}$. Giá trị của a-b bằng.

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [0;2]. Biết f(0) =1 và $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(2-\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{2{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}}$  với mọi $\mathrm{x}\in [0;2]$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^2\frac{\left({\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2\right)\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}$.

Cho hàm f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn f(2)=0, ${\int }_1^2{\left(f\text{'}\left(x\right)\right)}^{2}dx=\frac{1}{45}$và ${\int }_1^2\left(x-1\right)f\left(x\right)dx=-\frac{1}{30}$. Tính $\mathrm{I}={\int }_1^2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thoả mãn $\mathrm{f}\left(1\right)+\mathrm{f}\left(1-\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3\left(1-\mathrm{x}\right)$ và f(0)=0. Tính $\mathrm{I}={\int }_0^2\mathrm{xf}\text{'}\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)$ bằng