Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm $A\left(3;0;0\right),B\left(-3;0;0\right)$ và $C\left(0;5;1\right)$. Gọi M là một điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) sao cho $MA+MB=10,$ giá trị nhỏ nhất của MC là

Chọn A

Gọi $C_1\left(0;5;0\right)$ là hình chiếu của C trên mặt phẳng (Oxy). Khi đó ta có:

$MC=\sqrt{C{C_1}^2+C_1{M}^2}=\sqrt{1+C_1{M}^2}\left(*\right)$

Vậy MC nhỏ nhất khi và chỉ khi $M{C}_1$ nhỏ nhất.

Xét trên mặt phẳng tọa độ Oxy với $A\left(3;0\right),B\left(-3;0\right),C_1\left(0;5\right)$

Theo giả thiết $MA+MB=10$ nên tập hợp điểm M là đường elip có phương trình: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

Đặt $\left\{\begin{array}{l}x=5\cos \alpha \\ y=4\sin \alpha \end{array}\right.,0\le \alpha \le 2\pi .$

$M\left(5\cos \alpha ;4\sin \alpha \right)$,

$M{C}_1=\sqrt{5^2{\cos }^2\alpha +{\left(4\sin \alpha -5\right)}^2}=\sqrt{25-25{\sin }^2\alpha +16{\sin }^2\alpha -40\sin \alpha +25}$

        $=\sqrt{50-49\sin \alpha -9{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1+40\left(1-\sin \alpha \right)+9\left(1-{\sin }^2\alpha \right)}\ge 1$

Suy ra $C_1{M}_{\min }=1\iff \sin \alpha =1,$ suy ra $M\left(0;4\right)$.

Vậy $C{M}_{\min }=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ với $M\left(0;4;0\right)$.