Cho hàm số $y=\frac{3x-2}{x}$ có đồ thị (C). Có tất cả bao nhiêu đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà hoành độ và tung độ của hai giao điểm này đều là các số nguyên?

Đáp án C

Phương pháp giải:

- Tìm số điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{3x-2}{x}$, giả sử là n.

- Số đường thẳng thỏa mãn là số đường thẳng đi qua 2 trong n điểm trên, tức là $C_n^2$ đường thẳng.

Giải chi tiết:

Để đường thẳng cắt $\left(C\right)$ tại 2 điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên thì điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên  phải thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{3x-2}{x}$.

Ta có: $y=\frac{3x-2}{x}=3-\frac{2}{x}\left(x\ne 0\right)$.

Để $y\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{2}{x}\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left\{\pm 1;\pm 2\right\}$.

Khi đó các điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{3x-2}{x}$ là $A\left(1;1\right);B\left(-1;5\right);C=\left(2;2\right);D\left(-2;4\right)$.

Vậy có $C_4^2=6$ đường thẳng thỏa mãn.