Cho hai khối cầu đồng tâm có bán kính là 1 và 4. Xét hình chóp $S.A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6$ có đỉnh S thuộc mặt cầu nhỏ và các đỉnh $A_i.i=\overline{1;6}$ thuộc mặt cầu lớn. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S.A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6$.  

Đáp án D

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi $\left(S_1\right);\left(S_2\right)$ là hai khối cầu tâm O có bán kính lần lượt là $R_1=1,R_2=4$.

Giả sử $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6\in \left(\alpha \right)$.

Kẻ $OH\perp \left(\alpha \right)\left(H\in \left(\alpha \right)\right)$, gọi $S_0=OH\cap \left(S_1\right)$ sao cho $d\left(S_0;\left(\alpha \right)\right)>d\left(O;\left(\alpha \right)\right)$.

Khi đó ta có: $V_{S.A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6}\le V_{S_0.A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6}=\frac{1}{3}{S}_{0}H.S_{A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6}$.

Đặt $OH=x\left(0<x<4\right)$ ta có $S_{0}H=x+1$.

Áp dụng định lí Pytago ta có: $H{A}_1=\sqrt{O{A_1}^2-O{H}^2}=\sqrt{16-x^2}$.

$\Rightarrow S_{A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6}$ đạt giá trị lớn nhất khi khi và chỉ khi $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6$ là lục giác đều, khi đó $\max S_{A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(16-x^2\right)$

$\Rightarrow V_{S.A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6}\le \frac{1}{3}\left(x+1\right).\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(16-x^2\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+1\right)\left(16-x^2\right)$ .

Xét hàm số $f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(16-x^2\right)$ với $0<x<4$ ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=16-x^2-\left(x+1\right)2x=-3x^2-2x+16$.

BBT:

Dựa vào BBT $\Rightarrow \underset{\left(0;4\right)}{\max }f\left(x\right)=f\left(2\right)=36$.

$\Rightarrow V_{S.A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6}\le \frac{\sqrt{3}}{2}.36=18\sqrt{3}$.

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối chsop $S.A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6$ là $18\sqrt{3}$.