Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên R và f'(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $g\left(x\right)=f\left(\left|e^{2x}-2x-2\right|\right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Đáp án A

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có $g\left(x\right)=f\left(\left|e^{2x}-2x-2\right|\right)=f\left(\sqrt{{\left(e^{2x}-2x-2\right)}^2}\right)$

$\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)={\sqrt{{\left(e^{2x}-2x-2\right)}^2}}^{\text{'}}.f^{\text{'}}\left(\sqrt{{\left(e^{2x}-2x-2\right)}^2}\right)$

$=\frac{2\left(e^{2x}-2x-2\right)\left(2e^{2x}-2\right)}{2\sqrt{{\left(e^{2x}-2x-2\right)}^2}}{f}^{\text{'}}\left(\sqrt{{\left(e^{2x}-2x-2\right)}^2}\right)$

$g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}{e}^{2x}-2x-2=0\\ 2e^{2x}-2=0\\ f^{\text{'}}\left(\sqrt{{\left(e^{2x}-2x-2\right)}^2}\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}{e}^{2x}-2x-2=0\\ x=0\\ \sqrt{{\left(e^{2x}-2x-2\right)}^2}=a<-1\left(Loai\right)\\ \sqrt{{\left(e^{2x}-2x-2\right)}^2}=b\in \left(-1;0\right)\left(Loai\right)\\ \sqrt{{\left(e^{2x}-2x-2\right)}^2}=c\in \left(0;1\right)\\ \sqrt{{\left(e^{2x}-2x-2\right)}^2}=d>1\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}{e}^{2x}-2x-2=0\left(1\right)\\ x=0\\ e^{2x}-2x-2=c\in \left(0;1\right)\left(2\right)\\ e^{2x}-2x-2=-c\in \left(-1;0\right)\left(3\right)\\ e^{2x}-2x-2=d,d>1\left(4\right)\\ e^{2x}-2x-2=-d,-d<-1\left(5\right)\end{array}\right.$

Xét hàm số $h\left(x\right)=e^{2x}-2x-2$ ta có $h^{\text{'}}\left(x\right)=2e^{2x}-2=0\iff x=0$.

BBT:

Dựa vào BBT ta có:

+ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

+ Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

+ Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

+ Phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

+ Phương trình (5) vô nghiệm.

Các nghiệm trên đều là nghiệm bội lẻ (nghiệm đơn) và phân biệt.

Do đó phương trình $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có 9 nghiệm bội lẻ.

Vậy hàm số $y= g\left(x\right)$ có tất cả 9 điểm cực trị.