Có bao nhiêu cặp số nguyên dương x;y với y≤2021thỏa mãn logx+12y+1≤4y4+4y3−x2y2−2y2x. A. 20212021−1. B. 20212022−1. C. 20222022−1 . D. 20222022+1.

Chọn C Ta có: logx+12y+1≤4y4+4y3−x2y2−2y2x⇔logxy+y2y2+y≤4y4+4y3+y2−x2y2+2y2x+y2 ⇔logxy+y−log2y2+y≤2y2+y2−xy+y21 Xét hàm số ft=logt+t2 với t∈0;+∞. Ta có: f't=1tln10+2t>0;∀t∈0;+∞. Suy ra hàm ft đồng biến trên t∈0;+∞. Khi đó: 1⇔fxy+y≤f2y2+y⇔xy+y≤2y2+y⇔x≤2y. Vì y∈ℤ+ và y≤2021nên ta xét các trường hợp sau.  y=1⇒x∈1;2.  y=2⇒x∈1;2;3;4 .  ……………………………….  y=2021⇒x∈1;2;3;.....;4042. Vậy số cặp nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán là: 2+4+6+...+4042=2022.2021

Câu hỏi:

20/12/2022 2,227

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x; y)$ với $y \leq 2021$ thỏa mãn $\log \frac{x + 1}{2 y + 1} \leq 4 y^{4} + 4 y^{3} - x^{2} y^{2} - 2 y^{2} x$ .

A. $2021 (2021 - 1)$ .

2021 (2022 - 1)

2022 (2022 - 1)

2022 (2022 + 1)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C

Ta có: $\log \frac{x + 1}{2 y + 1} \leq 4 y^{4} + 4 y^{3} - x^{2} y^{2} - 2 y^{2} x \Leftrightarrow \log \frac{x y + y}{2 y^{2} + y} \leq (4 y^{4} + 4 y^{3} + y^{2}) - (x^{2} y^{2} + 2 y^{2} x + y^{2})$ $\Leftrightarrow \log (x y + y) - \log (2 y^{2} + y) \leq {(2 y^{2} + y)}^{2} - {(x y + y)}^{2} (1)$

Xét hàm số $f (t) = \log t + t^{2}$ với $t \in (0; + \infty)$ .

Ta có: $f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 10} + 2 t > 0; \forall t \in (0; + \infty)$ . Suy ra hàm $f (t)$ đồng biến trên $t \in (0; + \infty)$ .

Khi đó: $(1) \Leftrightarrow f (x y + y) \leq f (2 y^{2} + y) \Leftrightarrow x y + y \leq 2 y^{2} + y \Leftrightarrow x \leq 2 y$ .

Vì $y \in ℤ^{+}$ và $y \leq 2021$ nên ta xét các trường hợp sau.

 $y = 1 \Rightarrow x \in \{1; 2\}$ .

 $y = 2 \Rightarrow x \in \{1; 2; 3; 4\}$ .

 ……………………………….

 $y = 2021 \Rightarrow x \in \{1; 2; 3; .....; 4042\}$ .

Vậy số cặp nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán là: $2 + 4 + 6 + ... + 4042 = 2022.2021$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu có tâm $I (- 1; 2; 0)$ và đi qua điểm $M (2; 6; 0)$ có phương trình là:

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 100$ .

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 25

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 25

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 100

Lời giải

Chọn B

Ta có bán kính $R = I M = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0} = 5$ .

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I (- 1; 2; 0)$ , bán kính R = 5 là ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 25$ .

Câu 2

Trong không gian Oxyz đường thẳng đi qua hai điểm $A (2; 3; - 1), B (1; 2; 4)$ có phương trình tham số là:

\{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 - t \\ z = - 1 + 5 t \end{cases}

\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = 4 - 5 t \end{cases}

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 4 + 5 t \end{cases}

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 + 5 t \end{cases}

Lời giải

Chọn A

$\vec{A B} = (- 1; - 1; 5)$ .

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng AB đi qua điểm AA và nhận $\vec{A B} = (- 1; - 1; 5)$ làm vectơ chỉ phương là: $\{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 - t \\ z = - 1 + 5 t \end{cases}$ .

Câu 3

Cho khối chóp SABC, có SA vuông góc với đáy, đáy là tam giác vuông tại B, $S A = 2 a,$ $A B = 3 a,$ $B C = 4 a$ . Thể tích khối chóp đã cho bằng

8 a^{3}

4 a^{3}

12 a^{3}

24 a^{3}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = x (x - 1) {(x + 2)}^{3}, \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và hàm số $y = f' (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Trên $[- 2; 4]$ , gọi $x_{0}$ là điểm mà tại đó hàm số $g (x) = f (\frac{x}{2} + 1) - \ln (x^{2} + 8 x + 16)$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó $x_{0}$ thuộc khoảng nào?

A. $(\frac{1}{2}; 2)$ .

(2; \frac{5}{2})

(- 1; - \frac{1}{2})

(- 1; \frac{1}{2})

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Nếu $\int_{0}^{\frac{π}{3}} [\sin x - 3 f (x)] d x = 6$ thì $\int_{0}^{\frac{π}{3}} f (x) d x$ bằng

A. $\frac{13}{2} .$

\frac{- 11}{2} .

\frac{- 13}{4} .

\frac{- 11}{6}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{2} \frac{4}{a}$ bằng

A. $\frac{1}{2} - \log_{2} a$ .

2 \log_{2} a

2 - \log_{2} a

\log_{2} a - 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương x;y với y≤2021thỏa mãn logx+12y+1≤4y4+4y3−x2y2−2y2x.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu có tâm I−1; 2; 0 và đi qua điểm M2;6;0 có phương trình là:

Trong không gian Oxyz đường thẳng đi qua hai điểm A2; 3; −1,B1; 2; 4 có phương trình tham số là:

Cho khối chóp SABC, có SA vuông góc với đáy, đáy là tam giác vuông tại B, SA=2a, AB=3a,BC=4a. Thể tích khối chóp đã cho bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'x=xx−1x+23,∀x∈ℝ. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Trên −2;4, gọi x0 là điểm mà tại đó hàm số g(x)=fx2+1−lnx2+8x+16 đạt giá trị lớn nhất. Khi đó x0 thuộc khoảng nào?

Nếu ∫0π3sinx−3fxdx=6 thì ∫0π3fxdx bằng

Với a là số thực dương tùy ý, log24a bằng

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x; y)$ với $y \leq 2021$ thỏa mãn $\log \frac{x + 1}{2 y + 1} \leq 4 y^{4} + 4 y^{3} - x^{2} y^{2} - 2 y^{2} x$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu có tâm $I (- 1; 2; 0)$ và đi qua điểm $M (2; 6; 0)$ có phương trình là:

Trong không gian Oxyz đường thẳng đi qua hai điểm $A (2; 3; - 1), B (1; 2; 4)$ có phương trình tham số là:

Cho khối chóp SABC, có SA vuông góc với đáy, đáy là tam giác vuông tại B, $S A = 2 a,$ $A B = 3 a,$ $B C = 4 a$ . Thể tích khối chóp đã cho bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = x (x - 1) {(x + 2)}^{3}, \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Nếu $\int_{0}^{\frac{π}{3}} [\sin x - 3 f (x)] d x = 6$ thì $\int_{0}^{\frac{π}{3}} f (x) d x$ bằng

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{2} \frac{4}{a}$ bằng