Cho các số thực x,y,z thỏa mãn ${\log }_3\left(2x^2+y^2\right)={\log }_7\left(x^3+2y^3\right)=\log z$. Có bao giá trị nguyên của z để có đúng hai cặp $\left(x,y\right)$ thỏa mãn đẳng thức trên.

Chọn B

Ta có ${\log }_3\left(2x^2+y^2\right)={\log }_7\left(x^3+2y^3\right)=\log z=t\iff \left\{\begin{array}{l}2x^2+y^2=3^t\left(1\right)\\ x^3+2y^3=7^t\left(2\right)\\ z={10}^t\left(3\right)\end{array}\right.$.

+ Nếu y = 0 $\left(2\right)\Rightarrow x=7^{\frac{t}{3}}$ thay vào (1) ta được ${2.7}^{\frac{2t}{3}}=3^t\iff t={\log }_{\frac{3}{\sqrt[3]{49}}}2$ do đó $z={10}^{{\log }_{\frac{3}{\sqrt[3]{49}}}2}$.

+ Nếu $y\ne 0$

Từ $\left(1\right)\&\left(2\right)$suy ra $\left\{\begin{array}{l}{\left(2x^2+y^2\right)}^3={27}^t\\ {\left(x^3+2y^3\right)}^2={49}^t\end{array}\right.\Rightarrow \frac{{\left(x^3+2y^3\right)}^2}{{\left(2x^2+y^2\right)}^3}={\left(\frac{49}{27}\right)}^t\iff \frac{{\left({\left(\frac{x}{y}\right)}^3+2\right)}^2}{{\left(2{\left(\frac{x}{y}\right)}^2+1^2\right)}^3}={\left(\frac{49}{27}\right)}^t,\left(*\right)$.

Đặt $\frac{x}{y}=u,u\ne -\sqrt[3]{2}$. Xét $f\left(u\right)=\frac{{\left(u^3+2\right)}^2}{{\left(2u^2+1\right)}^3}\Rightarrow f^{\text{'}}\left(u\right)=\frac{6u\left(u^3+2\right)\left(u-4\right)}{{\left(2u^2+1\right)}^4}=0\iff \left[\begin{array}{l}u=0\\ u=-\sqrt[3]{2}\\ u=4\end{array}\right.$.

Ta có bảng biến thiên

 

Nhận xét với mỗi giá trị u tương ứng với duy nhất 1 cặp (x,y) thỏa mãn bài toán do đó

Yêu cầu bài toán tương đương $\left[\begin{array}{l}\frac{1}{8}\le {\left(\frac{49}{27}\right)}^t<4\\ 0<{\left(\frac{49}{27}\right)}^t<\frac{4}{33}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}{10}^{{\log }_{\frac{49}{27}}\left(\frac{1}{8}\right)}\le z<{10}^{{\log }_{\frac{49}{27}}4}\\ 0<z<{10}^{{\log }_{\frac{49}{27}}\left(\frac{4}{33}\right)}\end{array}\right.$.

Vì z là số nguyên nên có 211 giá trị thỏa mãn.