Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội cờ đỏ?

Vì trong 5 người được chọn phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất phải có 2 nam nên số học sinh nữ gồm 1 hoặc 2 hoặc 3 nên ta có các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam.

 +) Số cách chọn 1 nữ: 5 cách

 +) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: \(A_{15}^2\)

 +) Số cách chọn 2 nam còn lại: \(C_{13}^2\)

Suy ra có \(5A_{15}^2.C_{13}^2\) cách chọn cho trường hợp này.

• Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam.

 +) Số cách chọn 2 nữ: \(C_5^2\) cách.

 +) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: \(A_{15}^2\)cách.

 +) Số cách chọn 1 còn lại: 13 cách.

Suy ra có \[13A_{15}^2.C_5^2\] cách chọn cho trường hợp này.

• Trường hợp 3: Chọn 3 nữ và 2 nam.

 +) Số cách chọn 3 nữ : \(C_5^3\) cách.

 +) Số cách chọn 2 làm đội trưởng và đội phó: \(A_{15}^2\) cách.

Suy ra có \(A_{15}^2.C_5^3\) cách chọn cho trường hợp 3.

Vì các trường hợp là rời nhau. Vậy nên ta có \(5A_{15}^2.C_{13}^2 + 13A_{15}^2.C_5^2 + A_{15}^2.C_5^3 = 111\,300\) cách.