Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $f\left(x\right)=2x^3-3x^2-m$ có các giá trị cực trị trái dấu.

Đạo hàm  $y\text{'}=2.2x\left(x^2-4\right){\left(1-2x\right)}^3+{\left(x^2-4\right)}^2\mathrm{.3.}\left(-2\right){\left(1-2x\right)}^2$

$={\left(1-2x\right)}^2\left(x^2-4\right).\left[4x\left(1-2x\right)-6\left(x^2-4\right)\right]=-2{\left(1-2x\right)}^2\left(x^2-4\right)\left(7x^2-2x-12\right).$

Phương trình $y^{\text{'}}=0$có 4 nghiệm đơn nên hàm số có 4 điểm cực trị. Chọn B.

Đạo hàm   $y\text{'}=x^2-2\left(m+2\right)x+\left(2m+3\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=2m+3\end{array}\right..$

Để hàm số có hai điểm cực trị  $x_1,x_2$ khi và chỉ khi  $2m+3\ne 1\iff m\ne -1.$ (*) 

Gọi  $A\left(x_1;y_1\right)$ và  $B\left(x_2;y_2\right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Khi đó theo định lí Viet, ta có  $x_1+x_2=2m+4.$

Yêu cầu bài toán  $\iff \frac{2m+4}{2}=1\iff m=-1$: không thỏa mãn  $\left(*\right)$.

Nhận xét. Qua khảo sát 99% học sinh chọn đáp án A, lý do là quên điều kiện để có hai cực trị. Tôi cố tình ra giá trị m đúng ngay giá trị loại đi.

Nếu gặp bài toán không ra nghiệm đẹp như trên thì ta giải như sau: $x_0$ là hoành độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba  $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ khi và chỉ khi  $y^{\text{'}}=0$ có hai nghiệm phân biệt ($\Delta >0$ ) và$y^{\text{'}\text{'}}\left(x_0\right)=0\text{'}\text{'}.$ 

Chọn D.