Cho hàm số  $y=\frac{2x-3}{x-2}$ (C). Gọi M là điểm bất kỳ trên $\left(C\right)$ , d là tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị. Giá trị nhỏ nhất của d bằng

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị, ta suy ra tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là các đường thẳng $x=-1,y=2$ .

Chọn D

Điều kiện $x\ne 1;x\ne 2$ .

Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=1$  nên đồ thị luôn có một đường tiệm cận ngang $y=1$  với mọi m.

Ta có $x^2-3x+2\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}\right.$ .

Xét $f\left(x\right)=x^2+m$ . Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì $f\left(x\right)$  phải nhận x=1 hoặc x=2 là nghiệm hay $\left[\begin{array}{l}f\left(1\right)=0\\ f\left(2\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m+1=0\\ m+4=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=-1\\ m=-4\end{array}\right.$ .

·    Với $m=-1$ , ta có hàm số $y=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}=\frac{x+1}{x-2}$  nên đồ thị có hai đường tiệm cận là $x=2;y=1$  (thỏa mãn).

·    Với $m=-4$ , ta có hàm số $y=\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}=\frac{x+2}{x-1}$  nên đồ thị có hai đường tiệm cận là  $x=1;y=1$(thỏa mãn).

Vậy $S=\left\{-1;-4\right\}$  nên tổng các giá trị m bằng -5.

Chọn A.