Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=-x^3+x+2$  tại điểm $M\left(-2;8\right)$  bằng

Hướng dẫn giải

Do tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà $OA=4OB$  .

Khi đó $\Delta OAB$  vuông tại O và ta có $\left|k\right|=\tan \widehat{OAB}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{4}\iff k=\pm \frac{1}{4}$

Ta có: $y^{\text{'}}=-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Xét phương trình $-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{1}{4}$  (vô nghiệm).

Xét phương trình $-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}=-\frac{1}{4}\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-1\end{array}\right.$

+ Với x=3 thì $y=\frac{5}{2}$ . Phương trình tiếp tuyến là

$y=-\frac{1}{4}\left(x-3\right)+\frac{5}{2}=-\frac{1}{4}x+\frac{13}{4}$.

+ Với x=-1  thì $y=\frac{3}{2}$ . Phương trình tiếp tuyến là

$y=-\frac{1}{4}\left(x+1\right)+\frac{3}{2}=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có $f^3\left(2-x\right)-2f^2\left(2+3x\right)+x^{2}g\left(x\right)+36x=0,\forall x\in ℝ\left(1\right)$

Thay $x=0$  vào (1) ta có $f^3\left(2\right)-2f^2\left(2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}f\left(2\right)=0\\ f\left(2\right)=2\end{array}\right.$

Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được

$-3f^2\left(2-x\right).f^{\text{'}}\left(2-x\right)-12f\left(2+3x\right).f^{\text{'}}\left(2+3x\right)+2x.g\left(x\right)+x^2.g^{\text{'}}\left(x\right)+36=0.\left(2\right)$

Thay x=0 vào (2) ta có $-3f^2\left(2\right).f^{\text{'}}\left(2\right)-12f\left(2\right).f^{\text{'}}\left(2\right)+36=0.\left(3\right)$

+ Với $f\left(2\right)=0$  thay vào (3) thì 36=0 (vô lý).

+ Với $f\left(2\right)=2$  thay vào (3) thì $f^{\text{'}}\left(2\right)=1$  nên phương trình tiếp tuyến là y=x.

Chọn D.