Cho hàm số $y=\frac{2x}{x+2}$  có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\frac{1}{18}$   là

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{\text{'}}=-3x^2+1\Rightarrow y^{\text{'}}\left(-2\right)=-11$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm  $M\left(-2;8\right)$và $y=-11\left(x+2\right)+8$.

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là $k=-11$.

Hướng dẫn giải

Do tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà $OA=4OB$  .

Khi đó $\Delta OAB$  vuông tại O và ta có $\left|k\right|=\tan \widehat{OAB}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{4}\iff k=\pm \frac{1}{4}$

Ta có: $y^{\text{'}}=-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Xét phương trình $-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{1}{4}$  (vô nghiệm).

Xét phương trình $-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}=-\frac{1}{4}\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-1\end{array}\right.$

+ Với x=3 thì $y=\frac{5}{2}$ . Phương trình tiếp tuyến là

$y=-\frac{1}{4}\left(x-3\right)+\frac{5}{2}=-\frac{1}{4}x+\frac{13}{4}$.

+ Với x=-1  thì $y=\frac{3}{2}$ . Phương trình tiếp tuyến là

$y=-\frac{1}{4}\left(x+1\right)+\frac{3}{2}=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$

Chọn C.