Câu hỏi:

31/01/2023 945

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P,Q,R lần lượt di động trên ba trục tọa độ $O x, O y, O z$ (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho $\frac{1}{O P^{2}} + \frac{1}{O Q^{2}} + \frac{1}{O R^{2}} = \frac{1}{8}$ . Biết mặt phẳng $(P Q R)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ cố định. Đường thẳng $(d)$ thay đổi nhưng luôn đi qua $M (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm $A, B$ phân biệt. Diện tích lớn nhất của $Δ A O B$ là

A. $\sqrt{15}$ .

\sqrt{5}

\sqrt{17}

\sqrt{7}

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng $(P Q R)$ .

Dễ thấy $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O P^{2}} + \frac{1}{O Q^{2}} + \frac{1}{O R^{2}} \Rightarrow \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{8} \Rightarrow O H = 2 \sqrt{2}$ .

Khi đó $(P Q R)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm O, bán kính $R = 2 \sqrt{2}$ .

Ta có $O M = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 0} = 1 < R$ nên điểm M nằm trong mặt cầu $(S)$ .

Gọi I là trung điểm của AB, do $Δ O A B$ cân tại O nên $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O I . A B$ .

Đặt $O I = x$ . Vì $O I \leq O M$ nên $0 < x \leq 1$ và $A B = 2 \sqrt{8 - x^{2}}$ .

Ta có $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} x .2 \sqrt{8 - x^{2}} = x \sqrt{8 - x^{2}} = \sqrt{8 x^{2} - x^{4}}$ .

Xét hàm số $f (x) = 8 x^{2} - x^{4}, 0 < x \leq 1$ .

Vì $f^{'} (x) = 4 x (4 - x^{2}) > 0$ với mọi $x \in (0; 1]$ nên $f (x) \leq f (1) = 7$ .

Suy ra diện tích của $Δ O A B$ lớn nhất bằng $\sqrt{7}$ đạt được khi M là trung điểm của AB.

Chọn D.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ và điểm $M (1; 3; - 1)$ . Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn $(C)$ có tâm $J (a; b; c)$ .

Giá trị $2 a + b + c$ bằng

A. $\frac{134}{25}$ .

\frac{116}{25}

\frac{84}{25}

\frac{62}{25}

Lời giải

Media VietJack

Ta có mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; - 1; 2)$ và bán kính $R = 3$ .

Khi đó $I M = 5 > R \Rightarrow M$ nằm ngoài mặt cầu.

Phương trình đường thẳng MI là $\{\begin{cases} x = 1 \\ x = - 1 + 4 t \\ z = 2 - 3 t \end{cases}$ .

Tâm $J (a; b; c)$ nằm trên MI nên $J (1; - 1 + 4 t; 2 - 3 t)$ .

Xét $Δ M H I$ vuông tại H có

$M I = 5; I H = 3 \Rightarrow M H = \sqrt{M I^{2} - H I^{2}} = 4$

Mặt khác $\{\begin{cases} M (1; 3; - 1) \\ J (1; - 1 + 4 t; 2 - 3 t) \end{cases} \Rightarrow M J = \sqrt{{(- 4 + 4 t)}^{2} + {(3 - 3 t)}^{2}}$ .

$M J . M I = M H^{2} \Rightarrow M J = \frac{16}{5} \Leftrightarrow {(- 4 + 4 t)}^{2} + {(3 - 2 t)}^{2} = \frac{256}{25} \Leftrightarrow 25 t^{2} - 50 t + \frac{369}{25} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{9}{25} \\ t = \frac{41}{25} \end{array}$

Suy ra $J (1; \frac{11}{25}; \frac{23}{25})$ hoặc $J (1; \frac{139}{25}; \frac{- 73}{25})$ .

+) Với $J (1; \frac{11}{25}; \frac{23}{25})$ thì $I J = \frac{9}{5} < I M$ (nhận).

+) Với $J (1; \frac{139}{25}; \frac{- 73}{25})$ thì $I J = \frac{41}{5} > I M$ (loại).

Vậy $J (1; \frac{11}{25}; \frac{23}{25})$ nên $2 a + b + c = \frac{84}{25}$ .

Chọn C.

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 - t \end{cases}$ và $d^{'} : \{\begin{cases} x = 2 - 2 t^{'} \\ y = - 2 + t^{'} \\ z = 1 + 3 t^{'} \end{cases}$

Tìm tọa độ giao điểm M của d và d'.

A. $M = (0; - 1; 4)$ .

M = (- 1; 0; 4)

M = (4; 0; - 1)

M = (0; 4; - 1)

Lời giải

Tọa độ giao điểm M của d và d' ứng với t và t' là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 1 + t = 2 - 2 t^{'} \\ 2 + 3 t = - 2 + t^{'} \\ 3 - t = 1 + 3 t^{'} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t + 2 t^{'} = 1 \\ 3 t - t^{'} = - 4 \\ t + 3 t^{'} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 1 \\ t^{'} = 1 \end{cases}$

Vậy $M = (0; - 1; 4)$ .

Chọn A.

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu

$(S_{1}) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 16$ và $(S_{2}) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn tâm là $I (a; b; c)$ . Giá trị $a + b + c$ bằng

A. $\frac{7}{4}$ .

- \frac{1}{4}

\frac{10}{3}

D. 1.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}, Δ_{2} : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$

A. $Δ_{1}$ song song với $Δ_{2}$ .

B. $Δ_{1}$ chéo với $Δ_{2}$ .

C. $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ .

Δ_{1}

trùng với

Δ_{2}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A (3; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 6)$ và $D (1; 1; 1)$ . Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ các điểm $A, B, C$ đến d lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?

A. $M (- 1; - 2; 1)$ .

N (5; 7; 3)

P (3; 4; 3)

Q (7; 13; 5)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 (m^{2} + m + 2) x + (m^{2} - 1) y + (m + 2) z + m^{2} + m + 1 = 0$

luôn chứa đường thẳng $∆$ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến $∆$ là?

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

\frac{2}{\sqrt{3}}

\frac{\sqrt{2}}{3}

\frac{2}{3}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M và nhận vectơ $\vec{a}$ làm vectơ chỉ phương và đường thẳng d' đi qua điểm M' và nhận vectơ $\vec{a^{'}}$ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng d song song với đường thẳng d' là

A. $\{\begin{cases} \vec{a} = k \vec{a^{'}}, k \neq 0 \\ M \notin d^{'} \end{cases}$ .

\{\begin{cases} \vec{a} = k \vec{a^{'}}, k \neq 0 \\ M \in d^{'} \end{cases}

\{\begin{cases} \vec{a} = \vec{a^{'}} \\ M \in d^{'} \end{cases}

\{\begin{cases} \vec{a} \neq k \vec{a^{'}}, k \neq 0 \\ M \notin d^{'} \end{cases}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 - t \end{cases}$ và $d^{'} : \{\begin{cases} x = 2 - 2 t^{'} \\ y = - 2 + t^{'} \\ z = 1 + 3 t^{'} \end{cases}$

Tìm tọa độ giao điểm M của d và d'.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu

$(S_{1}) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 16$ và $(S_{2}) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn tâm là $I (a; b; c)$ . Giá trị $a + b + c$ bằng

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}, Δ_{2} : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 (m^{2} + m + 2) x + (m^{2} - 1) y + (m + 2) z + m^{2} + m + 1 = 0$

luôn chứa đường thẳng $∆$ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến $∆$ là?