Câu hỏi:

31/01/2023 221

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P,Q,R lần lượt di động trên ba trục tọa độ $O x, O y, O z$ (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho $\frac{1}{O P^{2}} + \frac{1}{O Q^{2}} + \frac{1}{O R^{2}} = \frac{1}{8}$ . Biết mặt phẳng $(P Q R)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ cố định. Đường thẳng $(d)$ thay đổi nhưng luôn đi qua $M (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm $A, B$ phân biệt. Diện tích lớn nhất của $Δ A O B$ là

A. $\sqrt{15}$ .

\sqrt{5}

\sqrt{17}

\sqrt{7}

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng $(P Q R)$ .

Dễ thấy $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O P^{2}} + \frac{1}{O Q^{2}} + \frac{1}{O R^{2}} \Rightarrow \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{8} \Rightarrow O H = 2 \sqrt{2}$ .

Khi đó $(P Q R)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm O, bán kính $R = 2 \sqrt{2}$ .

Ta có $O M = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 0} = 1 < R$ nên điểm M nằm trong mặt cầu $(S)$ .

Gọi I là trung điểm của AB, do $Δ O A B$ cân tại O nên $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O I . A B$ .

Đặt $O I = x$ . Vì $O I \leq O M$ nên $0 < x \leq 1$ và $A B = 2 \sqrt{8 - x^{2}}$ .

Ta có $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} x .2 \sqrt{8 - x^{2}} = x \sqrt{8 - x^{2}} = \sqrt{8 x^{2} - x^{4}}$ .

Xét hàm số $f (x) = 8 x^{2} - x^{4}, 0 < x \leq 1$ .

Vì $f^{'} (x) = 4 x (4 - x^{2}) > 0$ với mọi $x \in (0; 1]$ nên $f (x) \leq f (1) = 7$ .

Suy ra diện tích của $Δ O A B$ lớn nhất bằng $\sqrt{7}$ đạt được khi M là trung điểm của AB.

Chọn D.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ và điểm $M (1; 3; - 1)$ . Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn $(C)$ có tâm $J (a; b; c)$ .

Giá trị $2 a + b + c$ bằng

A. $\frac{134}{25}$ .

\frac{116}{25}

\frac{84}{25}

\frac{62}{25}

Lời giải

Media VietJack

Ta có mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; - 1; 2)$ và bán kính $R = 3$ .

Khi đó $I M = 5 > R \Rightarrow M$ nằm ngoài mặt cầu.

Phương trình đường thẳng MI là $\{\begin{cases} x = 1 \\ x = - 1 + 4 t \\ z = 2 - 3 t \end{cases}$ .

Tâm $J (a; b; c)$ nằm trên MI nên $J (1; - 1 + 4 t; 2 - 3 t)$ .

Xét $Δ M H I$ vuông tại H có

$M I = 5; I H = 3 \Rightarrow M H = \sqrt{M I^{2} - H I^{2}} = 4$

Mặt khác $\{\begin{cases} M (1; 3; - 1) \\ J (1; - 1 + 4 t; 2 - 3 t) \end{cases} \Rightarrow M J = \sqrt{{(- 4 + 4 t)}^{2} + {(3 - 3 t)}^{2}}$ .

$M J . M I = M H^{2} \Rightarrow M J = \frac{16}{5} \Leftrightarrow {(- 4 + 4 t)}^{2} + {(3 - 2 t)}^{2} = \frac{256}{25} \Leftrightarrow 25 t^{2} - 50 t + \frac{369}{25} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{9}{25} \\ t = \frac{41}{25} \end{array}$

Suy ra $J (1; \frac{11}{25}; \frac{23}{25})$ hoặc $J (1; \frac{139}{25}; \frac{- 73}{25})$ .

+) Với $J (1; \frac{11}{25}; \frac{23}{25})$ thì $I J = \frac{9}{5} < I M$ (nhận).

+) Với $J (1; \frac{139}{25}; \frac{- 73}{25})$ thì $I J = \frac{41}{5} > I M$ (loại).

Vậy $J (1; \frac{11}{25}; \frac{23}{25})$ nên $2 a + b + c = \frac{84}{25}$ .

Chọn C.

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 - t \end{cases}$ và $d^{'} : \{\begin{cases} x = 2 - 2 t^{'} \\ y = - 2 + t^{'} \\ z = 1 + 3 t^{'} \end{cases}$

Tìm tọa độ giao điểm M của d và d'.

A. $M = (0; - 1; 4)$ .

M = (- 1; 0; 4)

M = (4; 0; - 1)

M = (0; 4; - 1)

Lời giải

Tọa độ giao điểm M của d và d' ứng với t và t' là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 1 + t = 2 - 2 t^{'} \\ 2 + 3 t = - 2 + t^{'} \\ 3 - t = 1 + 3 t^{'} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t + 2 t^{'} = 1 \\ 3 t - t^{'} = - 4 \\ t + 3 t^{'} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 1 \\ t^{'} = 1 \end{cases}$

Vậy $M = (0; - 1; 4)$ .

Chọn A.

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu

$(S_{1}) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 16$ và $(S_{2}) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn tâm là $I (a; b; c)$ . Giá trị $a + b + c$ bằng

A. $\frac{7}{4}$ .

- \frac{1}{4}

\frac{10}{3}

D. 1.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M và nhận vectơ $\vec{a}$ làm vectơ chỉ phương và đường thẳng d' đi qua điểm M' và nhận vectơ $\vec{a^{'}}$ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng d song song với đường thẳng d' là

A. $\{\begin{cases} \vec{a} = k \vec{a^{'}}, k \neq 0 \\ M \notin d^{'} \end{cases}$ .

\{\begin{cases} \vec{a} = k \vec{a^{'}}, k \neq 0 \\ M \in d^{'} \end{cases}

\{\begin{cases} \vec{a} = \vec{a^{'}} \\ M \in d^{'} \end{cases}

\{\begin{cases} \vec{a} \neq k \vec{a^{'}}, k \neq 0 \\ M \notin d^{'} \end{cases}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 (m^{2} + m + 2) x + (m^{2} - 1) y + (m + 2) z + m^{2} + m + 1 = 0$

luôn chứa đường thẳng $∆$ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến $∆$ là?

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

\frac{2}{\sqrt{3}}

\frac{\sqrt{2}}{3}

\frac{2}{3}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}, Δ_{2} : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$

A. $Δ_{1}$ song song với $Δ_{2}$ .

B. $Δ_{1}$ chéo với $Δ_{2}$ .

C. $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ .

Δ_{1}

trùng với

Δ_{2}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A (3; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 6)$ và $D (1; 1; 1)$ . Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ các điểm $A, B, C$ đến d lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?

A. $M (- 1; - 2; 1)$ .

N (5; 7; 3)

P (3; 4; 3)

Q (7; 13; 5)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x−12+y+12+z−22=9 và điểm M1;3;−1 . Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn C có tâm Ja;b;c . Giá trị 2a+b+c bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:x=1+ty=2+3tz=3−t và d':x=2−2t'y=−2+t'z=1+3t' Tìm tọa độ giao điểm M của d và d'.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu S1:x−12+y−12+z−22=16 và S2:x+12+y−22+z+12=9 cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn tâm là Ia;b;c . Giá trị a+b+c bằng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M và nhận vectơ a→ làm vectơ chỉ phương và đường thẳng d' đi qua điểm M' và nhận vectơ a'→ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng d song song với đường thẳng d' là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P:2m2+m+2x+m2−1y+m+2z+m2+m+1=0 luôn chứa đường thẳng ∆ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến ∆ là?

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng Δ1:x−12=y+12=z3, Δ2:x−3−1=y−3−2=z+21

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A3;0;0,B0;2;0,C0;0;6 và D1;1;1 . Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ các điểm A,B,C đến d lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 - t \end{cases}$ và $d^{'} : \{\begin{cases} x = 2 - 2 t^{'} \\ y = - 2 + t^{'} \\ z = 1 + 3 t^{'} \end{cases}$

Tìm tọa độ giao điểm M của d và d'.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu

$(S_{1}) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 16$ và $(S_{2}) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn tâm là $I (a; b; c)$ . Giá trị $a + b + c$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 (m^{2} + m + 2) x + (m^{2} - 1) y + (m + 2) z + m^{2} + m + 1 = 0$

luôn chứa đường thẳng $∆$ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến $∆$ là?

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}, Δ_{2} : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$